QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
Passo 1
O enunciado pede que se determine o domínio da função real
Informações fornecidas:
- A expressão da função é
. - A pergunta é: para quais valores reais de
a expressão acima está bem definida e resulta num número real? Esse conjunto é o domínio da função.
Passo 2
Definição prática do que é preciso checar: o domínio é o conjunto de todos os
tais que a expressão
tem sentido e é um número real. Em outras palavras, verificar quando a operação "base
elevada ao expoente
" dá um resultado real.
Passo 3
Caso mais simples — base positiva: se
então a potência com expoente real é definida por
onde
é o logaritmo natural. Essa definição usa funções exponencial e logaritmo (bem definidas para
) e sempre produz um número real. Conclusão: todo
pertence ao domínio.
Exemplo rápido para fixar:
- Para
: e por definição acima isso dá , um real.
Passo 4
Caso
: o expoente é
, que é indefinido. Além disso, a expressão
é problemática quando o “algo” não é um inteiro positivo. Portanto
não pertence ao domínio.
Passo 5
Caso base negativa (
): aqui as coisas ficam delicadas. Em geral, o número real
com
e
real não está definido via
porque
não existe no conjunto dos reais. No entanto, há exceções quando o expoente é um número racional da forma
(em forma reduzida) com
ímpar: nesse caso
é bem definido como número real porque a raiz
-ésima de um número negativo existe como real quando
é ímpar. Logo, para base negativa, a potência é real só em casos especiais em que o expoente é racional com denominador ímpar.
Passo 6
Aplicando ao nosso expoente
: para
a quantidade
precisa ser um racional
em forma reduzida com
ímpar, para que
seja real. Em termos de
, isso significa que existe uma representação inteira
com
,
ímpar e
. Equivalente:
, com
ímpar. Exemplos:
-
: (denominador ímpar) e é real, logo é permitido. -
: (denominador ímpar) e é real, logo também é permitido. -
: tem denominador (par), então envolve raiz quadrada de número negativo e não é real; portanto não pertence ao domínio.
Passo 7
Resumo técnico sobre o domínio completo (caracterização precisa):
- Todos os
pertencem ao domínio (e aí a fórmula se computa por ). -
não pertence ao domínio. - Para
, a função é real apenas em casos especiais: quando é racional em forma reduzida com ímpar. Em termos de isso descreve os números racionais da forma com ímpar e .
Observação prática para prova: a definição mais comum e segura para a função real
é usar a definição via logaritmo, o que exige
. Por isso, salvo indicação do contrário pelo enunciado (por exemplo, aceitar só certos racionais negativos), a resposta esperada costuma ser que o domínio é
.