QUESTÃO 1 - Escolha e determine o domínio de 3 (faça 6 se for de dupla; 9 se for de trio) das seguintes funções reais:
\mathrm{f}(x)=x^{\frac{1}{x}}

Passo 1

O enunciado pede que se determine o domínio da função real
\mathrm{f}(x)=x^{\frac{1}{x}}.
Informações fornecidas:
  • A expressão da função é x^{\frac{1}{x}}.
  • A pergunta é: para quais valores reais de x a expressão acima está bem definida e resulta num número real? Esse conjunto é o domínio da função.

Passo 2

Definição prática do que é preciso checar: o domínio é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} tais que a expressão x^{\frac{1}{x}} tem sentido e é um número real. Em outras palavras, verificar quando a operação "base x elevada ao expoente \tfrac{1}{x}" dá um resultado real.

Passo 3

Caso mais simples — base positiva: se x>0 então a potência com expoente real é definida por
x^{\frac{1}{x}}=\exp\!\Big(\frac{1}{x}\ln x\Big),
onde \ln x é o logaritmo natural. Essa definição usa funções exponencial e logaritmo (bem definidas para x>0) e sempre produz um número real. Conclusão: todo x>0 pertence ao domínio.
Exemplo rápido para fixar:
  • Para x=2: 2^{1/2}=\sqrt{2} e por definição acima isso dá \exp\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big), um real.

Passo 4

Caso x=0: o expoente é \tfrac{1}{x}=\tfrac{1}{0}, que é indefinido. Além disso, a expressão 0^{\text{algo}} é problemática quando o “algo” não é um inteiro positivo. Portanto x=0 não pertence ao domínio.

Passo 5

Caso base negativa ( x<0): aqui as coisas ficam delicadas. Em geral, o número real a^{b} com a<0 e b real não está definido via \exp(b\ln a) porque \ln a não existe no conjunto dos reais. No entanto, há exceções quando o expoente é um número racional da forma \tfrac{p}{q} (em forma reduzida) com q ímpar: nesse caso
(-A)^{\frac{p}{q}}=\bigl((-A)^{p}\bigr)^{1/q}
é bem definido como número real porque a raiz q-ésima de um número negativo existe como real quando q é ímpar. Logo, para base negativa, a potência é real só em casos especiais em que o expoente é racional com denominador ímpar.

Passo 6

Aplicando ao nosso expoente \tfrac{1}{x}: para x<0 a quantidade \tfrac{1}{x} precisa ser um racional \tfrac{p}{q} em forma reduzida com q ímpar, para que x^{1/x} seja real. Em termos de x, isso significa que existe uma representação inteira \tfrac{1}{x}=\tfrac{p}{q} com p,q\in\mathbb{Z}, q ímpar e \gcd(p,q)=1. Equivalente: x=\tfrac{q}{p}, com q ímpar. Exemplos:
  • x=-1: \tfrac{1}{x}=-1=\tfrac{-1}{1} (denominador 1 ímpar) e (-1)^{-1}=-1 é real, logo x=-1 é permitido.
  • x=-\tfrac{1}{2}: \tfrac{1}{x}=-2=\tfrac{-2}{1} (denominador 1 ímpar) e \bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)^{-2}=4 é real, logo x=-\tfrac{1}{2} também é permitido.
  • x=-2: \tfrac{1}{x}=-\tfrac{1}{2} tem denominador 2 (par), então (-2)^{-1/2} envolve raiz quadrada de número negativo e não é real; portanto x=-2 não pertence ao domínio.

Passo 7

Resumo técnico sobre o domínio completo (caracterização precisa):
  • Todos os x>0 pertencem ao domínio (e aí a fórmula se computa por \exp\big(\tfrac{1}{x}\ln x\big)).
  • x=0 não pertence ao domínio.
  • Para x<0, a função é real apenas em casos especiais: quando \tfrac{1}{x} é racional \tfrac{p}{q} em forma reduzida com q ímpar. Em termos de x isso descreve os números racionais da forma x=\tfrac{q}{p} com q ímpar e p\neq0.
Observação prática para prova: a definição mais comum e segura para a função real x^{1/x} é usar a definição via logaritmo, o que exige x>0. Por isso, salvo indicação do contrário pelo enunciado (por exemplo, aceitar só certos racionais negativos), a resposta esperada costuma ser que o domínio é (0,\infty).

Resposta

(0,\infty)

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