QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
3^{\{x+\mathrm{c}\}}-4=0

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
3^{\{\;x+\mathrm{c}\;\}}-4=0
e pede: determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Aqui \mathrm{c} é uma constante real (não especificada) e a incógnita é x. Também é preciso observar a notação \{\cdot\}: ela representa a parte fracionária de um número. Ou seja, para todo real y,
\{y\}=y-\lfloor y\rfloor
onde \lfloor y\rfloor é a parte inteira (o maior inteiro ≤ y). Em particular vale
0\le \{y\}<1.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma mais direta. Somando 4 aos dois lados,
3^{\{\;x+\mathrm{c}\;\}}=4.
A ideia natural é aplicar logaritmo na base 3 (ou usar a definição de logaritmo): para qualquer a>0 e b>0,
a^{t}=b \quad\Longleftrightarrow\quad t=\log_{a}b.
Aplicando isso aqui obtemos
\{\;x+\mathrm{c}\;\}=\log_{3}4.

Passo 3

Agora use a propriedade fundamental da parte fracionária: o lado esquerdo \{\;x+\mathrm{c}\;\} é um número que satisfaz
0\le \{\;x+\mathrm{c}\;\}<1.
Logo, para que haja solução, o número \log_{3}4 teria de pertencer ao intervalo [0,1).

Passo 4

Vamos avaliar \log_{3}4 comparando potências inteiras de 3. Sabemos que
3^{1}=3\quad\text{e}\quad 3^{2}=9.
Como 3<4<9, segue que
1<\log_{3}4<2.
Em particular \log_{3}4 é maior que 1 e, portanto, não pertence ao intervalo [0,1).

Passo 5

Como concluímos que \log_{3}4\notin[0,1), a igualdade
\{\;x+\mathrm{c}\;\}=\log_{3}4
não pode ocorrer: a parte fracionária de qualquer número nunca é maior ou igual a 1. Portanto não existe nenhum x real que satisfaça a equação dada.

Resposta

Não existe solução real para x.

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