QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
e pede: determinar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade. Aqui
é uma constante real (não especificada) e a incógnita é
. Também é preciso observar a notação
: ela representa a parte fracionária de um número. Ou seja, para todo real
,
onde
é a parte inteira (o maior inteiro ≤
). Em particular vale
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma mais direta. Somando
aos dois lados,
A ideia natural é aplicar logaritmo na base
(ou usar a definição de logaritmo): para qualquer
e
,
Aplicando isso aqui obtemos
Passo 3
Agora use a propriedade fundamental da parte fracionária: o lado esquerdo
é um número que satisfaz
Logo, para que haja solução, o número
teria de pertencer ao intervalo
.
Passo 4
Vamos avaliar
comparando potências inteiras de
. Sabemos que
Como
, segue que
Em particular
é maior que
e, portanto, não pertence ao intervalo
.
Passo 5
Como concluímos que
, a igualdade
não pode ocorrer: a parte fracionária de qualquer número nunca é maior ou igual a
. Portanto não existe nenhum
real que satisfaça a equação dada.
Resposta
Não existe solução real para
.