QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
Passo 1
O enunciado nos dá a igualdade
e pede: determinar o(s) valor(es) de
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - As letras
e são parâmetros (valores fixos, mas não numéricos aqui). - Para que
esteja definido, é necessário que . Assim vamos assumir .
Nada mais é fornecido, então vamos buscarem termos de e .
Passo 2
Primeiro usamos uma propriedade básica de exponenciais: para quaisquer números
e
,
Aplicando com
e
obtemos
Outra propriedade fundamental é que, para
,
Logo, combinando as duas propriedades,
Passo 3
Substituindo essa expressão na igualdade original temos
Agora isolamos o termo com
: somando
a ambos os lados,
Como assumimos
, podemos dividir ambos os lados por
sem problema:
Passo 4
Usamos a regra de potências para dividir potências de mesma base: para quaisquer
e
,
Aplicando com
e
dá
Portanto a igualdade ficou
Passo 5
Para resolver
tomamos o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que
é a função inversa de
, obtemos
Também podemos usar a propriedade do logaritmo de potência,
(válida para
), e assim escrever
Passo 6
Verificações rápidas e casos especiais para te deixar tranquilo:
- Se
então e a fórmula dá . De fato, com a equação vira . - Se
então também, consistente com . - Se
não dá para aplicar , logo o enunciado exige ; fora desse domínio não há solução real pelo formato dado. - Exemplo numérico: se
e então . Conferindo: .