QUESTÃO 3 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) dentre as expressões abaixo e determine o valor de x que satisfaça as igualdades:
\boldsymbol{e}^{\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\operatorname { l n }} \mathbf{b}}-\mathbf{b}^{\mathbf{a}}=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado nos dá a igualdade
e^{x+\operatorname{ln} b}-b^{a}=0
e pede: determinar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • As letras a e b são parâmetros (valores fixos, mas não numéricos aqui).
  • Para que \operatorname{ln} b esteja definido, é necessário que b>0. Assim vamos assumir b>0.
    Nada mais é fornecido, então vamos buscar x em termos de a e b.

Passo 2

Primeiro usamos uma propriedade básica de exponenciais: para quaisquer números u e v,
e^{u+v}=e^{u}\,e^{v}.
Aplicando com u=x e v=\operatorname{ln} b obtemos
e^{x+\operatorname{ln} b}=e^{x}\,e^{\operatorname{ln} b}.
Outra propriedade fundamental é que, para b>0,
e^{\operatorname{ln} b}=b.
Logo, combinando as duas propriedades,
e^{x+\operatorname{ln} b}=e^{x}\,b.

Passo 3

Substituindo essa expressão na igualdade original temos
b\,e^{x}-b^{a}=0.
Agora isolamos o termo com e^{x}: somando b^{a} a ambos os lados,
b\,e^{x}=b^{a}.
Como assumimos b>0, podemos dividir ambos os lados por b sem problema:
e^{x}=\frac{b^{a}}{b}.

Passo 4

Usamos a regra de potências para dividir potências de mesma base: para quaisquer u e v,
\frac{b^{u}}{b^{v}}=b^{u-v}.
Aplicando com u=a e v=1
\frac{b^{a}}{b}=b^{a-1}.
Portanto a igualdade ficou
e^{x}=b^{a-1}.

Passo 5

Para resolver \,e^{x}=b^{a-1}\, tomamos o logaritmo natural dos dois lados. Lembrando que \ln é a função inversa de e^{(\cdot)}, obtemos
x=\ln\bigl(b^{a-1}\bigr).
Também podemos usar a propriedade do logaritmo de potência, \ln\bigl(b^{k}\bigr)=k\ln b (válida para b>0), e assim escrever
x=(a-1)\ln b.

Passo 6

Verificações rápidas e casos especiais para te deixar tranquilo:
  • Se b=1 então \ln b=0 e a fórmula dá x=(a-1)\cdot 0=0. De fato, com b=1 a equação vira e^{x}-1^{a}=0\Rightarrow e^{x}-1=0\Rightarrow x=0.
  • Se a=1 então x=(1-1)\ln b=0 também, consistente com b\,e^{x}=b^{1}\Rightarrow e^{x}=1\Rightarrow x=0.
  • Se b\le 0 não dá para aplicar \ln b, logo o enunciado exige b>0; fora desse domínio não há solução real pelo formato dado.
  • Exemplo numérico: se a=3 e b=2 então x=(3-1)\ln 2=2\ln 2\approx1{,}386. Conferindo: e^{x+\ln 2}=e^{2\ln 2+\ln 2}=e^{3\ln 2}=2^{3}=8=b^{a}.

Resposta

x=(a-1)\ln b

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