QUESTÃO 6 - Escolha 1 (2 se for dupla; 3 se for trio) outras funções apresentadas na questão 1; resolva o limite dessas funções quando
tende à zero
Passo 1
O enunciado pede que se escolha
(ou
se for dupla;
se for trio) outras funções apresentadas na questão 1 e que se calcule o limite dessas funções quando
tende a zero, isto é,
.
Informações fornecidas no enunciado recebido aqui: nenhuma função da questão 1 foi enviada junto com a sua mensagem. Não há expressão explícita de , nem figura, nem tabela.
Informações fornecidas no enunciado recebido aqui: nenhuma função da questão 1 foi enviada junto com a sua mensagem. Não há expressão explícita de
Passo 2
Por causa da ausência das funções, não é possível calcular os limites pedidos de forma concreta. Para calcular
é indispensável conhecer a expressão matemática de
(ou a informação gráfica/tabelada que a defina). Sem isso não há como realizar contas nem dar um valor final. Vou, no entanto, explicar passo a passo os métodos que normalmente se usam em prova para limites em
e resolver vários exemplos típicos, para que você aprenda a aplicar na hora da prova.
Passo 3
Estratégia geral (verificar em ordem, rápido):
- Tente a substituição direta: calcule
. Se não der forma indeterminada, esse é o limite. - Se der forma indeterminada
ou , tente fatorar/cancelar termos algébricos ou racionalizar (conjugado). - Use identidades trigonométricas para funções trigonométricas (por exemplo
). - Use limites padrões (por exemplo
, ). - Se necessário e permitido, use regra de l’Hôpital quando a forma for
ou e as condições forem satisfeitas. - Como última opção (ou quando se pede rigidez), use desenvolvimento em série de Taylor em torno de
(expansões de baixo grau).
Passo 4
Exemplo 1 — limite trigonométrico clássico:
.
Passos:
Passos:
- Substituindo
obtemos , forma indeterminada. - Conhecimento padrão (demonstrável por desigualdades geométricas ou série):
.
Explicação curta: a série de Taylor deem é . Dividindo por e passando fica .
Passo 5
Exemplo 2 — racionalização de raiz:
.
Passos:
Passos:
- Substituindo
dá . Fazer conjugado para eliminar raiz: multiplica-se numerador e denominador por . - Obter:
- Cancelar
(para ):
- Agora tomar o limite
:
Resposta: o limite é
.
Passo 6
Exemplo 3 — identidade trigonométrica:
.
Passos:
Passos:
- Substituição direta dá
. Usar identidade . - Reescrever o quociente:
- Simplificar os fatores:
. Portanto
- Usar o limite padrão
com . Assim
Resposta: o limite é
.
Passo 7
Exemplo 4 — exponencial:
.
Passos:
Passos:
- Substituição direta dá
. A derivada de em é ; ou usar série . - Pela série,
- Alternativamente, aplicar regra de l’Hôpital (derivar numerador e denominador):
, , então o limite é .
Resposta: o limite é.
Passo 8
Resumo prático para a prova (fluxo de decisão rápido):
- Se
existe e não dá indeterminação, limite = . - Se der
: tente fatorar e cancelar, racionalizar, usar identidades trigonométricas ou séries de Taylor. - Se for trigonométrico, lembre dos limites padrões
e manipule para usar esse fato. - Se for exponencial/log, lembrar
e . - Use l’Hôpital como ferramenta quando apropriado (apenas para
ou e se as derivadas existirem).
Passo 9
Fique animado: a técnica é quase sempre a mesma sequência de passos na prova (substituir → identificar indeterminação → aplicar manipulação adequada). Se você mandar as expressões concretas das funções da questão 1, eu calculo passo a passo cada limite aplicando exatamente as técnicas que mostrei acima.
Resposta
Não é possível resolver porque as funções da questão 1 não foram fornecidas.