QUESTÃO 6 - Escolha 1 (2 se for dupla; 3 se for trio) outras funções apresentadas na questão 1; resolva o limite dessas funções quando x tende à zero \left(\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{f}(x)\right)

Passo 1

O enunciado pede que se escolha 1 (ou 2 se for dupla; 3 se for trio) outras funções apresentadas na questão 1 e que se calcule o limite dessas funções quando x tende a zero, isto é, \lim_{x\to 0} f(x).
Informações fornecidas no enunciado recebido aqui: nenhuma função da questão 1 foi enviada junto com a sua mensagem. Não há expressão explícita de f(x), nem figura, nem tabela.

Passo 2

Por causa da ausência das funções, não é possível calcular os limites pedidos de forma concreta. Para calcular \lim_{x\to 0} f(x) é indispensável conhecer a expressão matemática de f(x) (ou a informação gráfica/tabelada que a defina). Sem isso não há como realizar contas nem dar um valor final. Vou, no entanto, explicar passo a passo os métodos que normalmente se usam em prova para limites em x\to 0 e resolver vários exemplos típicos, para que você aprenda a aplicar na hora da prova.

Passo 3

Estratégia geral (verificar em ordem, rápido):
  1. Tente a substituição direta: calcule f(0). Se não der forma indeterminada, esse é o limite.
  2. Se der forma indeterminada 0/0 ou \infty/\infty, tente fatorar/cancelar termos algébricos ou racionalizar (conjugado).
  3. Use identidades trigonométricas para funções trigonométricas (por exemplo 1-\cos x=2\sin^2(x/2)).
  4. Use limites padrões (por exemplo \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1, \lim_{x\to 0}\dfrac{e^x-1}{x}=1).
  5. Se necessário e permitido, use regra de l’Hôpital quando a forma for 0/0 ou \infty/\infty e as condições forem satisfeitas.
  6. Como última opção (ou quando se pede rigidez), use desenvolvimento em série de Taylor em torno de 0 (expansões de baixo grau).

Passo 4

Exemplo 1 — limite trigonométrico clássico: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}.
Passos:
  • Substituindo x=0 obtemos \dfrac{0}{0}, forma indeterminada.
  • Conhecimento padrão (demonstrável por desigualdades geométricas ou série): \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
    Explicação curta: a série de Taylor de \sin x em 0 é \sin x = x - \dfrac{x^3}{3!} + \cdots. Dividindo por x e passando x\to 0 fica 1 - \dfrac{x^2}{6} + \cdots \to 1.

Passo 5

Exemplo 2 — racionalização de raiz: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}.
Passos:
  • Substituindo x=0 \dfrac{0}{0}. Fazer conjugado para eliminar raiz: multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{1+x}+1.
  • Obter:
\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(\sqrt{1+x}-1)(\sqrt{1+x}+1)}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1+x-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{x}{x(\sqrt{1+x}+1)}.
  • Cancelar x (para x\neq 0):
\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}.
  • Agora tomar o limite x\to 0:
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Resposta: o limite é \dfrac{1}{2}.

Passo 6

Exemplo 3 — identidade trigonométrica: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}.
Passos:
  • Substituição direta dá \dfrac{0}{0}. Usar identidade 1-\cos x = 2\sin^2\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • Reescrever o quociente:
\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{2\sin^2\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{x^2}=2\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\tfrac{x}{2}}\right)^2\cdot\left(\frac{\tfrac{x}{2}}{x}\right)^2.
  • Simplificar os fatores: \dfrac{\tfrac{x}{2}}{x}=\dfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1-\cos x}{x^2}=2\left(\frac{\sin\!\left(\tfrac{x}{2}\right)}{\tfrac{x}{2}}\right)^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2.
  • Usar o limite padrão \lim_{u\to 0}\dfrac{\sin u}{u}=1 com u=\tfrac{x}{2}. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=2\cdot 1^2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{2}.
Resposta: o limite é \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Exemplo 4 — exponencial: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}.
Passos:
  • Substituição direta dá \dfrac{0}{0}. A derivada de e^x em 0 é 1; ou usar série e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots.
  • Pela série,
\frac{e^x-1}{x}=\frac{x+\dfrac{x^2}{2}+\cdots}{x}=1+\frac{x}{2}+\cdots \to 1 \quad\text{quando }x\to 0.
  • Alternativamente, aplicar regra de l’Hôpital (derivar numerador e denominador): \dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x, \dfrac{d}{dx}(x)=1, então o limite é e^0/1=1.
    Resposta: o limite é 1.

Passo 8

Resumo prático para a prova (fluxo de decisão rápido):
  • Se f(0) existe e não dá indeterminação, limite = f(0).
  • Se der 0/0: tente fatorar e cancelar, racionalizar, usar identidades trigonométricas ou séries de Taylor.
  • Se for trigonométrico, lembre dos limites padrões \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 e manipule para usar esse fato.
  • Se for exponencial/log, lembrar \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1 e \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
  • Use l’Hôpital como ferramenta quando apropriado (apenas para 0/0 ou \infty/\infty e se as derivadas existirem).

Passo 9

Fique animado: a técnica é quase sempre a mesma sequência de passos na prova (substituir → identificar indeterminação → aplicar manipulação adequada). Se você mandar as expressões concretas das funções da questão 1, eu calculo passo a passo cada limite aplicando exatamente as técnicas que mostrei acima.

Resposta

Não é possível resolver porque as funções da questão 1 não foram fornecidas.

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