QUESTÃO 1 - Escolha 2 (4 se for dupla; 6 se for trio) funções entre aquelas apresentadas abaixo. Defina se essas séries são convergentes ou divergentes.
sumk=0^infty b^raizk(k-a)!

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=0^infty b^raizk(k - a)!
Trata-se de testar a convergência de uma série de termos positivos (ou em módulo), onde o denominador cresce como fatorial e o numerador como uma exponencial fraca em raizk. Vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral
ak = b^raizk(k - a)!
O teste da razão diz que, se
L = limktoinfty |ak+1ak| < 1,
então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
ak+1ak = b^raizk+1((k+1)-a)! ;g/; b^raizk(k-a)! = b^raizk+1-raizk(k+1-a)
Note que
raizk+1-raizk=dfrac1raizk+1+raizksimdfrac12raizk,
então
b^raizk+1-raizk ;longrightarrow; b^0 =1 quando ktoinfty
(k+1-a)toinfty. Logo
limktoinftyak+1ak = limktoinfty1k+1-a =0

Passo 4

Como o limite da razão L=0<1, a série converge absolutamente independentemente dos valores de a e b (desde que o fatorial esteja bem definido, por exemplo b>0 se quisermos termos reais). Portanto, a série é convergente.

Resposta

A série
sumk=0^infty b^raizk(k - a)!
é convergente.

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