( 2,0 pontos) Questão - A diferença entre o valor presente composto racional e o comercial de uma duplicata é igual a e o vencimento um mês. Qual é a taxa de juros?

Passo 1

O enunciado fala de desconto racional simples e desconto comercial simples, ambos aplicados a uma duplicata de valor nominal N=$1.000 com vencimento em um mês (uma única prestação). A diferença entre o valor presente obtido pelo desconto racional e pelo desconto comercial é $6. O que precisamos:
  1. Saber que, em desconto comercial simples a taxa i mensal dá
PVcom = N,(1 - i),
e, em desconto racional simples,
PVrat = N1 + i
  1. Montar a equação
PVrat - PVcom = 6
e resolver para i.

Passo 2

Escrevendo a equação da diferença entre os valores presentes:
N1 + i - N,(1 - i) = 6
Como N=1000, fica
10001 + i - 1000,(1 - i) = 6

Passo 3

Multiplicamos tudo por (1+i) para eliminar o denominador:
1000 - 1000,(1 - i),(1 + i) = 6,(1 + i)
Agora expandimos e simplificamos:
1000 - 1000,(1 - i^2) = 6 + 6i
1000 - 1000 + 1000,i^2 = 6 + 6i
1000,i^2 - 6i - 6 = 0

Passo 4

Temos uma equação quadrática em i:
1000,i^2 - 6i - 6 = 0
Dividindo por 2 para simplificar:
500,i^2 - 3i - 3 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara,
i = 3 pm raiz(-3)^2 - 4cdot 500cdot(-3)2cdot 500 = 3 pm raiz9 + 60001000 = 3 pm raiz60091000
Como precisamos de i>0, tomamos o sinal +:
i = 3 + raiz60091000 approx 0,080508

Passo 5

Convertendo para porcentagem mensal:
i approx 0,080508 Longrightarrow i approx 8,05% ao mês ê

Resposta

A taxa de juros é de aproximadamente 8,05% ao mês.

Exercícios relacionados