Questão 2. Escreva o número abaixo na forma de um somatório:
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva o seguinte número na forma de um somatório:
Informações dadas que eu vejo diretamente no enunciado:
- O primeiro termo da sequência é
. - Os termos listados formam uma sequência que termina em
. - Há um padrão de progressão entre os termos (os termos intermediários mostrados são
).
Passo 2
Antes de escrever o somatório, preciso lembrar o que significa a notação de somatório e o que é necessário para usá-la.
- A notação de somatório é escrita assim em geral:
onde:
-
é o índice de soma (uma variável inteira que vai assumindo valores); -
é o valor inicial do índice (limite inferior); -
é o valor final do índice (limite superior); -
é o termo geral da sequência, ou seja, uma expressão em função de que gera cada termo quando varia de a .
Para escrever o somatório preciso:
- Determinar uma fórmula para o termo geral
. - Determinar quantos termos existem (ou seja o limite superior
).
Passo 3
Agora vamos descobrir o tipo de sequência e o termo geral. Observe os primeiros termos dados:
Calculo a diferença entre termos consecutivos:
Então a diferença constante entre termos é
. Isso significa que os termos formam uma progressão aritmética com:
A fórmula do
-ésimo termo de uma progressão aritmética é:
onde
é o primeiro termo,
é a razão e
é a posição do termo. Aqui substituindo
e
:
Posso também simplificar essa expressão:
Portanto, uma expressão simples para o termo geral é
(quando o índice começa em
).
Passo 4
Agora encontro quantos termos há até o último termo
. Uso a fórmula do termo geral e igualo a
:
Resolvo essa equação passo a passo:
Logo, existem
termos no somatório (o índice vai de
até
).
Passo 5
Com o termo geral e o número de termos definidos, já posso escrever a soma na forma de somatório. Usando a forma
(equivalente a
) e índice
de
a
, uma representação é:
Posso simplificar a expressão dentro do somatório:
logo uma forma mais compacta e comum é
Passo 6
Para você se sentir seguro na prova: se precisasse checar o valor numérico dessa soma, existe a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética:
Aqui
,
e
, então
Isso confirma que a soma dos termos representados pelo somatório acima é
— só como checagem rápida.