Questão 2. Escreva o número abaixo na forma de um somatório:
2+5+8+11+\cdots+32 .

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva o seguinte número na forma de um somatório:
2+5+8+11+\cdots+32.
Informações dadas que eu vejo diretamente no enunciado:
  • O primeiro termo da sequência é 2.
  • Os termos listados formam uma sequência que termina em 32.
  • Há um padrão de progressão entre os termos (os termos intermediários mostrados são 5,8,11,\ldots).

Passo 2

Antes de escrever o somatório, preciso lembrar o que significa a notação de somatório e o que é necessário para usá-la.
  • A notação de somatório é escrita assim em geral:
\sum_{k=m}^{n} a_k,
onde:
  • k é o índice de soma (uma variável inteira que vai assumindo valores);
  • m é o valor inicial do índice (limite inferior);
  • n é o valor final do índice (limite superior);
  • a_k é o termo geral da sequência, ou seja, uma expressão em função de k que gera cada termo quando k varia de m a n.
Para escrever o somatório preciso:
  1. Determinar uma fórmula para o termo geral a_k.
  2. Determinar quantos termos existem (ou seja o limite superior n).

Passo 3

Agora vamos descobrir o tipo de sequência e o termo geral. Observe os primeiros termos dados:
2,\;5,\;8,\;11,\;\ldots
Calculo a diferença entre termos consecutivos:
5-2=3,\qquad 8-5=3,\qquad 11-8=3.
Então a diferença constante entre termos é 3. Isso significa que os termos formam uma progressão aritmética com:
\text{primeiro termo } a_1 = 2,\qquad \text{razão } d = 3.ã
A fórmula do n-ésimo termo de uma progressão aritmética é:
a_n = a_1 + (n-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição do termo. Aqui substituindo a_1=2 e d=3:
a_n = 2 + (n-1)\cdot 3.
Posso também simplificar essa expressão:
a_n = 2 + 3(n-1) = 2 + 3n - 3 = 3n - 1.
Portanto, uma expressão simples para o termo geral é a_n = 3n - 1 (quando o índice começa em n=1).

Passo 4

Agora encontro quantos termos há até o último termo 32. Uso a fórmula do termo geral e igualo a 32:
a_n = 3n - 1 = 32.
Resolvo essa equação passo a passo:
3n - 1 = 32
3n = 32 + 1
3n = 33
n = \frac{33}{3} = 11.
Logo, existem 11 termos no somatório (o índice vai de 1 até 11).

Passo 5

Com o termo geral e o número de termos definidos, já posso escrever a soma na forma de somatório. Usando a forma a_k = 2 + 3(k-1) (equivalente a 3k-1) e índice k de 1 a 11, uma representação é:
\sum_{k=1}^{11} \bigl(2 + 3(k-1)\bigr).
Posso simplificar a expressão dentro do somatório:
2 + 3(k-1) = 3k - 1,
logo uma forma mais compacta e comum é
\sum_{k=1}^{11} (3k - 1).

Passo 6

Para você se sentir seguro na prova: se precisasse checar o valor numérico dessa soma, existe a fórmula da soma dos termos de uma progressão aritmética:
S_n = \frac{n}{2}\,(a_1 + a_n).
Aqui n=11, a_1=2 e a_n=32, então
S_{11} = \frac{11}{2}\,(2+32) = \frac{11}{2}\cdot 34 = 11\cdot 17 = 187.
Isso confirma que a soma dos termos representados pelo somatório acima é 187 — só como checagem rápida.

Resposta

\displaystyle \sum_{k=1}^{11} (3k-1)

Exercícios relacionados