Questão 2 Uma esfera de densidade \rho ocupa um volume total \mathbf{V} e tem uma cavidade interna. A esfera flutua na água (densidade \boldsymbol{\rho}_{\mathbf{a}} ) com metade de seu volume total submerso. Calcule o volume \mathbf{V}_{0} da cavidade interna como função de \boldsymbol{\rho}, \boldsymbol{\rho} \mathbf{a}, e \mathbf{V}.

Passo 1

Resumimos o problema: temos uma esfera de volume total V cuja parte sólida tem densidade \rho e uma cavidade interna de volume V_0 (vazio). A esfera flutua em água de densidade \rho_a com metade do seu volume total submerso. Vamos usar o Princípio de Arquimedes para relacionar essas grandezas.

Passo 2

A massa da parte sólida da esfera é o produto da densidade pelo volume de material, isto é,
m \;=\; \rho\,\bigl(V - V_{0}\bigr).
O peso da esfera vale
P \;=\; m\,g \;=\; \rho\,\bigl(V - V_{0}\bigr)\,g.

Passo 3

Pelo Princípio de Arquimedes, a força de empuxo é igual ao peso do fluido deslocado. Como a esfera submerge metade do volume total, o volume deslocado é V/2, e o empuxo é
E \;=\; \rho_{a}\,g\,\frac{V}{2}.
No equilíbrio flutuante, E = P, logo
\rho_{a}\,g\,\frac{V}{2} \;=\; \rho\,g\,\bigl(V - V_{0}\bigr).

Passo 4

Cancelando g e resolvendo para V_{0}:
\rho_{a}\,\frac{V}{2} \;=\; \rho\,\bigl(V - V_{0}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \rho\,V - \rho\,V_{0} \;=\; \frac{\rho_{a}\,V}{2} \quad\Longrightarrow\quad \rho\,V_{0} \;=\; \rho\,V - \frac{\rho_{a}\,V}{2}.
Dividindo por \rho, obtemos
V_{0} \;=\; V \;-\; \frac{\rho_{a}\,V}{2\,\rho} \;=\; V\,\Bigl(1 - \tfrac{\rho_{a}}{2\,\rho}\Bigr) \;=\; V\,\frac{2\,\rho - \rho_{a}}{2\,\rho}.

Resposta

V_{0} \;=\; V\,\frac{2\,\rho - \rho_{a}}{2\,\rho}.

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