Questão 3 A água atravessa uma tubulação e tem velocidade \mathrm{v}_{1} no ponto 1 , que tem área de seção transversal A. O tubo se alarga e sobe até uma altura h acima da região 1.0 ponto 2 de área 2 A , está aberto para a atmosfera. Dada a densidade da água igual a \rho e a pressão atmosférica igual a \mathrm{P}_{0}, calcule
a) a velocidade de escoamento, \mathrm{v}_{2} no ponto 2
b) a pressão P_{1} no ponto 1 do tubo

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário de água (densidade \rho) em um tubo que, do ponto 1 para o ponto 2, duplica sua área de seção (de A para 2A) e se eleva de uma altura h. No ponto 1 a velocidade é \mathrm{v}_1 e a pressão é P_1 (desconhecida); no ponto 2 a pressão é P_0 (atmosférica) e a velocidade \mathrm{v}_2 é o que queremos achar. Para resolver vamos usar:
– Equação de continuidade (incompressível).
– Equação de Bernoulli (fluido ideal, sem perdas).

Passo 2

Aplicando a continuidade do escoamento incompressível entre 1 e 2, temos
A\,\mathrm{v}_1 \;=\;2A\,\mathrm{v}_2
Logo
\mathrm{v}_2 \;=\;\frac{\mathrm{v}_1}{2}.

Passo 3

Agora escrevemos Bernoulli entre 1 e 2:
P_1 + \tfrac12\,\rho\,\mathrm{v}_1^2 + \rho\,g\,z_1 = P_0 + \tfrac12\,\rho\,\mathrm{v}_2^2 + \rho\,g\,z_2
Como z_2 = z_1 + h, fica
P_1 + \tfrac12\,\rho\,\mathrm{v}_1^2 = P_0 + \tfrac12\,\rho\,\mathrm{v}_2^2 + \rho\,g\,h.

Passo 4

Isolando P_1 e substituindo \mathrm{v}_2=\mathrm{v}_1/2:
P_1 = P_0 + \rho\,g\,h + \tfrac12\,\rho\bigl(\mathrm{v}_2^2 - \mathrm{v}_1^2\bigr) = P_0 + \rho\,g\,h + \tfrac12\,\rho\Bigl(\tfrac{\mathrm{v}_1^2}{4}-\mathrm{v}_1^2\Bigr)
P_1 = P_0 + \rho\,g\,h - \tfrac{3}{8}\,\rho\,\mathrm{v}_1^2.

Resposta

(a) \displaystyle \mathrm{v}_2 = \frac{\mathrm{v}_1}{2}.
(b) \displaystyle P_1 = P_0 + \rho\,g\,h \;-\;\frac{3}{8}\,\rho\,\mathrm{v}_1^2.

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