Questão 4. Um pêndulo físico consiste de um disco circular maciço de massa M e raio r preso a uma barra de massa 2 M e de comprimento L, que está presa ao teto. O pêndulo é deslocado de um pequeno angulo
no plano vertical e liberado. Momento de inercia do disco circular em torno do seu centro de massa
. Momento de inercia da barra em relação a extremidade é
a) Calcule o momento de inercia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
b) Aplique a
lei de Newton e determine a equação diferencial do movimento do pêndulo.
c) Encontre a frequência angular
das oscilações para pequenas amplitudes.
a) Calcule o momento de inercia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
b) Aplique a
c) Encontre a frequência angular
Passo 1
O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra uniforme de massa
e comprimento
presa ao teto e por um disco de massa
e raio
preso na extremidade livre da barra. Para resolver a questão vamos usar: cálculo de momento de inércia de corpos compostos (regra do eixo paralelo), a
ª lei de Newton para rotação (
) e a aproximação de pequenas oscilações (
).
Passo 2
Primeiro calculamos o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão usando a fórmula conhecida para uma barra de massa
e comprimento
em torno de uma extremidade:
Aqui
, logo
Para o disco, usamos o teorema dos eixos paralelos: o momento de inércia em torno de seu centro é
e a distância do centro ao pivô é
, então
Somando,
Passo 3
O torque restaurador total em relação ao pivô vem da gravidade na barra (força
agindo no centro a
) e no disco (força
agindo no disco a
). Tomando
medido para pequenas oscilações:
Aplicando a
ª lei de Newton para rotação,
Passo 4
Para pequenas amplitudes usamos
, o que dá uma equação harmônica linear:
Assim reconhecemos
. Simplificando:
Resposta
(a)
(b)
(c) .
(b)
(c)