Questão 4. Um pêndulo físico consiste de um disco circular maciço de massa M e raio r preso a uma barra de massa 2 M e de comprimento L, que está presa ao teto. O pêndulo é deslocado de um pequeno angulo \theta no plano vertical e liberado. Momento de inercia do disco circular em torno do seu centro de massa I=\frac{M r^{2}}{2}. Momento de inercia da barra em relação a extremidade é I=\frac{\text { massa } L^{2}}{3}
a) Calcule o momento de inercia do pêndulo em relação ao ponto de suspensão.
b) Aplique a 2^{\text {a }} lei de Newton e determine a equação diferencial do movimento do pêndulo.
c) Encontre a frequência angular \omega das oscilações para pequenas amplitudes.

Passo 1

O enunciado descreve um pêndulo físico formado por uma barra uniforme de massa 2M e comprimento L presa ao teto e por um disco de massa M e raio r preso na extremidade livre da barra. Para resolver a questão vamos usar: cálculo de momento de inércia de corpos compostos (regra do eixo paralelo), a 2ª lei de Newton para rotação ( I\,\theta''=\tau) e a aproximação de pequenas oscilações ( \sin\theta\approx\theta).

Passo 2

Primeiro calculamos o momento de inércia da barra em relação ao ponto de suspensão usando a fórmula conhecida para uma barra de massa m e comprimento L em torno de uma extremidade:
I_{\text{barra}}=\frac{m\,L^{2}}{3}
Aqui m=2M, logo
I_{\text{barra}}=\frac{2M\,L^{2}}{3}.
Para o disco, usamos o teorema dos eixos paralelos: o momento de inércia em torno de seu centro é \tfrac{1}{2}M r^{2} e a distância do centro ao pivô é L, então
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M\,r^{2}+M\,L^{2}.
Somando,
I_{\text{total}}=I_{\text{barra}}+I_{\text{disco}} =\frac{2M\,L^{2}}{3}+\Bigl(\frac{1}{2}M\,r^{2}+M\,L^{2}\Bigr) =\frac{5}{3}M\,L^{2}+\frac{1}{2}M\,r^{2}.

Passo 3

O torque restaurador total em relação ao pivô vem da gravidade na barra (força 2M g agindo no centro a L/2) e no disco (força M g agindo no disco a L). Tomando \theta medido para pequenas oscilações:
\tau=-\bigl(2M g\cdot\tfrac{L}{2}+M g\cdot L\bigr)\sin\theta =-2M g\,L\;\sin\theta.
Aplicando a 2ª lei de Newton para rotação,
I_{\text{total}}\;\theta''=\tau \quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\frac{5}{3}M\,L^{2}+\frac{1}{2}M\,r^{2}\Bigr)\theta'' =-2M g\,L\,\sin\theta.

Passo 4

Para pequenas amplitudes usamos \sin\theta\approx\theta, o que dá uma equação harmônica linear:
\Bigl(\frac{5}{3}M\,L^{2}+\frac{1}{2}M\,r^{2}\Bigr)\theta'' +2M g\,L\,\theta=0.
Assim reconhecemos \omega^{2}=\dfrac{2M g\,L}{\tfrac{5}{3}M\,L^{2}+\tfrac{1}{2}M\,r^{2}}. Simplificando:
\omega =\sqrt{\frac{2gL}{\tfrac{5}{3}L^{2}+\tfrac{1}{2}r^{2}}} =\sqrt{\frac{12\,g\,L}{10\,L^{2}+3\,r^{2}}}\,.

Resposta

(a) I_{\text{total}}=\frac{5}{3}M\,L^{2}+\frac{1}{2}M\,r^{2}.
(b) \Bigl(\frac{5}{3}M\,L^{2}+\frac{1}{2}M\,r^{2}\Bigr)\theta''+2M g\,L\,\sin\theta=0.
(c) \omega=\sqrt{\frac{12\,g\,L}{10\,L^{2}+3\,r^{2}}}.

Exercícios relacionados