Questão. Uma esfera homogênea
é cortada por um cone
com
. Determine (em termos de
e
) o centro de massa da casca esférica interior ao cone.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício nos pede. Temos uma esfera homogênea dada pela equação
que é cortada por um cone descrito por
, onde
. Precisamos encontrar o centro de massa da parte dessa esfera que fica dentro do cone, em função de
e
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral, especificamente integração sobre superfícies para determinar o centro de massa.
Passo 2
Primeiro, escolhemos um sistema de coordenadas que facilite nossos cálculos. Observando a simetria do problema, as coordenadas esféricas são ideais. Em coordenadas esféricas, as coordenadas cartesianas
são expressas como:
Aqui,
é o raio da esfera que, no nosso caso, é
.
Passo 3
Vamos transformar a equação do cone para coordenadas esféricas. A equação do cone é
. Substituindo
e
pelas expressões em coordenadas esféricas:
Portanto, o cone determina um ângulo polar
.
Passo 4
Para encontrar o centro de massa, precisamos calcular suas coordenadas. Devido à simetria do problema em torno do eixo
, sabemos que as coordenadas
e
serão zero. Assim, só precisamos encontrar
, a coordenada no eixo
.
A fórmula para
é:
Aqui,
é o elemento de área da casca esférica dentro do cone.
Passo 5
Vamos determinar o elemento de área
em coordenadas esféricas. O elemento de área numa esfera é dado por:
Como estamos considerando a região dentro do cone
e em torno de toda a circunferência, os limites de integração são
de
a
e
de
a
.
Passo 6
Substituímos
na integral para
:
Simplificando:
Calculemos cada parte separadamente:
- Integração sobre
:
- Integração sobre
no numerador:
- Integração sobre
no denominador:
Substituindo de volta na expressão de
:
Resposta
O centro de massa da casca esférica interna ao cone está localizado na coordenada
.