QUESTÃO#2: Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e marca-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja;
, onde
é o tempo de queda e
é o tempo gasto pelo som. Suponha que a velocidade do som seja
e a aceleraçăo da gravidade local seja de
. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) Tempo de queda livre (
) para a pedra atingir o fundo do poço, se
, s; (ii) velocidade (
) em com que a pedra atinge o fundo do poço e (iii) profundidade
do poço.
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir a profundidade de um poço usando o tempo total que leva para uma pedra cair e o som voltar. O problema envolve os conceitos de queda livre e propagação do som. Para isso, vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente acelerado e da relação entre velocidade, distância e tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece:
- **$ t_0
t_q t_s $):
- Sabemos que a velocidade do som ($ v_s $) é $ 344,0 , \mathrm{m/s} $ e a aceleração da gravidade ($ g $) é $ 9,8 , \mathrm{m/s^2} $.
Passo 3
Vamos relacionar o tempo de queda livre ($ t_q
H $). Usamos a fórmula da posição para movimento uniformemente acelerado (queda livre):
Essa fórmula nos diz a distância percorrida pela pedra durante a queda.
Passo 4
Agora, vamos relacionar o tempo que o som leva para subir ($ t_s $) com a profundidade:
Aqui, $ v_s $ é a velocidade do som.
Passo 5
Sabemos que o tempo total $ t_0 $ é 2 segundos. Então, podemos escrever:
Substituindo $ t_s $ pela expressão em termos de $ H $:
Passo 6
Agora, substituímos $ H $ pela expressão da queda livre:
Vamos resolver essa equação para encontrar $ t_q $.
Passo 7
Multiplicando toda a equação por $ v_s $ para simplificar:
Organizando:
Essa é uma equação quadrática na forma $ at_q^2 + bt_q + c = 0 $, onde:
- $ a = \frac{1}{2} g $
- $ b = v_s $
- $ c = -2 v_s $
Passo 8
Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
Substituindo os valores:
Passo 9
Calculando o discriminante:
Passo 10
Agora, calculamos $ t_q $:
Passo 11
Com o tempo de queda livre conhecido, podemos encontrar a velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço usando:
Passo 12
Finalmente, a profundidade do poço ($ H $) é:
Resposta
(i) $ t_{q} \approx 1,94 , \mathrm{s} $
(ii) $ v_{y} \approx 19,0 , \mathrm{m/s} $
(iii) $ H \approx 18,4 , \mathrm{m} $