QUESTÃO#2: Para estimar a profundidade desconhecida de um poço, deixa-se cair do repouso uma pedra e marca-se o intervalo de tempo entre o momento em que a pedra é solta e aquele em que se ouve o som, ou seja; t0=tq+ts, onde tq é o tempo de queda e ts é o tempo gasto pelo som. Suponha que a velocidade do som seja 344,0 m / s e a aceleraçăo da gravidade local seja de 9,8 m / s^2. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) Tempo de queda livre ( tq) para a pedra atingir o fundo do poço, se t0=2, s; (ii) velocidade ( vy) em com que a pedra atinge o fundo do poço e (iii) profundidade (H) do poço.
(i) tq=
(ii) vy= 19.3 m / s
(iii) H= 19 m

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir a profundidade de um poço usando o tempo total que leva para uma pedra cair e o som voltar. O problema envolve os conceitos de queda livre e propagação do som. Para isso, vamos precisar das fórmulas de movimento uniformemente acelerado e da relação entre velocidade, distância e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece:
  • **$ t_0 t0 éé t_q tq t_s $):
ts
- Sabemos que a velocidade do som ($ v_s $) é $ 344,0 , \mathrm{m/s} $ e a aceleração da gravidade ($ g $) é $ 9,8 , \mathrm{m/s^2} $.

Passo 3

Vamos relacionar o tempo de queda livre ($ t_q tq ç H $). Usamos a fórmula da posição para movimento uniformemente acelerado (queda livre):
H
Essa fórmula nos diz a distância percorrida pela pedra durante a queda.

Passo 4

Agora, vamos relacionar o tempo que o som leva para subir ($ t_s $) com a profundidade:
ts
Aqui, $ v_s $ é a velocidade do som.

Passo 5

Sabemos que o tempo total $ t_0 $ é 2 segundos. Então, podemos escrever:
t0
Substituindo $ t_s $ pela expressão em termos de $ H $:
tq + ts = t0

Passo 6

Agora, substituímos $ H $ pela expressão da queda livre:
H
Vamos resolver essa equação para encontrar $ t_q $.

Passo 7

Multiplicando toda a equação por $ v_s $ para simplificar:
vs
Organizando:
vs tq + 12 g tq^2 = 2 vs
Essa é uma equação quadrática na forma $ at_q^2 + bt_q + c = 0 $, onde:
  • $ a = \frac{1}{2} g $
  • $ b = v_s $
  • $ c = -2 v_s $

Passo 8

Vamos usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática:
tq = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
a = 12 times 9,8 = 4,9
b = 344,0
c = -2 times 344,0 = -688,0
tq = -344,0 pm raiz(344,0)^2 - 4 times 4,9 times (-688,0)2 times 4,9

Passo 9

Calculando o discriminante:
De
De
raizDe

Passo 10

Agora, calculamos $ t_q $:
tq
tq = -344,0 + 363,09,8
tq = 19,09,8

Passo 11

Com o tempo de queda livre conhecido, podemos encontrar a velocidade com que a pedra atinge o fundo do poço usando:
vy = g tq
vy = 9,8 times 1,94
vy approx 19,0 , m/s

Passo 12

Finalmente, a profundidade do poço ($ H $) é:
H
H = 12 g tq^2
H = 12 times 9,8 times (1,94)^2
H approx 12 times 9,8 times 3,76

Resposta

(i) $ t_{q} \approx 1,94 , \mathrm{s} $
(ii) $ v_{y} \approx 19,0 , \mathrm{m/s} $
(iii) $ H \approx 18,4 , \mathrm{m} $

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