QUESTÃO#4: Um objeto cai livremente do alto de um prédio de altura H a partir do repouso. Uma pessoa que está a uma altura de
acima do solo marca um intervalo de tempo de
entre
e o solo. Faça os cálculos e marque a alternativa correta para: (i) O tempo total (
) gasto pelo objeto desde a altura H até o solo; (ii) O módulo da velocidade (
) com que o objeto atinge o solo; (iii) A altura H do prédio. Use
.
(i)
(ii)
(iii)
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: um objeto é largado do repouso lá do topo de um prédio de altura H. Quando ele passa por uma pessoa que está a H₀ = 35,0 m do chão, o cronômetro dessa pessoa marca t₀ = 2,3 s até o objeto chegar no solo. A gente tem que calcular:
- o tempo total de queda tₐ (tempo desde que largou até bater no chão),
- a velocidade com que ele chega no solo vₛ,
- a altura H do prédio.
Conteúdo: cinemática do MUV (movimento uniformemente variado) – queda livre com aceleração g = 9,8 m/s². Vamos usar as fórmulas
- posição: y(t) = H – ½·g·t²
- velocidade: v(t) = g·t
Passo 2
Encontremos tₐ usando o fato de que no instante t = tₐ o objeto atinge o solo (y = 0).
0 = H – ½·g·tₐ²
→ H = ½·g·tₐ² (1)
0 = H – ½·g·tₐ²
→ H = ½·g·tₐ² (1)
Passo 3
A velocidade no instante em que bate no chão é
vₛ = g·tₐ (2)
vₛ = g·tₐ (2)
Passo 4
Agora relacionamos com o tempo parcial t₀ que vai de H₀ até o solo.
Se t_H₀ é o tempo de H até H₀, então tₐ = t_H₀ + t₀.
Se t_H₀ é o tempo de H até H₀, então tₐ = t_H₀ + t₀.
Mas t_H₀ vem de
H₀ = H – ½·g·t_H₀²
→ t_H₀ = √[2·(H – H₀)/g].
H₀ = H – ½·g·t_H₀²
→ t_H₀ = √[2·(H – H₀)/g].
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t₀ = tₐ – t_H₀ = tₐ – √[2·(H – H₀)/g]. (3)
t₀ = tₐ – t_H₀ = tₐ – √[2·(H – H₀)/g]. (3)
Passo 5
A gente já tem H em função de tₐ pela equação (1). Substitui (1) dentro de (3) e isola tₐ:
t₀ = tₐ – √[tₐ² – 2·H₀/g]
t₀ = tₐ – √[tₐ² – 2·H₀/g]
Plugando H₀ = 35,0 m, g = 9,8 m/s² e t₀ = 2,3 s e resolvendo numericamente, acha-se
tₐ = 4,165 s.
tₐ = 4,165 s.
Passo 6
Agora acha vₛ e H direto:
vₛ = g·tₐ = 9,8·4,165 = 40,82 m/s,
H = ½·g·tₐ² = 0,5·9,8·(4,165)² ≃ 85,74 m.
vₛ = g·tₐ = 9,8·4,165 = 40,82 m/s,
H = ½·g·tₐ² = 0,5·9,8·(4,165)² ≃ 85,74 m.
Resposta
(i) tₐ = 4,165 s
(ii) vₛ = 40,82 m/s
(iii) H = 85,74 m
(ii) vₛ = 40,82 m/s
(iii) H = 85,74 m