Questão - 7. Estude a variação das seguintes funções reais:
f(x)=cos ^2 2 x-sen^2 x

Passo 1

O enunciado pede para estudar a variação da função \r
f(x)=cos^2(2x)-sen^2(x), \r
ou seja, identificar onde f é crescente ou decrescente. Para isso vamos usar derivadas e estudo de sinais, lembrando que a função é periódica de período pi.

Passo 2

Primeiro simplificamos f usando as identidades \r
cos^2A=tfrac1+cos(2A)2 e sen^2B=tfrac1-cos(2B)2. \r
f(x) =1+cos(4x)2-1-cos(2x)2 =cos(4x)+cos(2x)2 \r
Agora calculamos a derivada: \r
f'(x) =12l(-4sen(4x)r)+12l(-2sen(2x)r) =-2sen(4x)-sen(2x)

Passo 3

Resolvendo f'(x)=0: \r
-2sen(4x)-sen(2x)=0 Long<=ftrightarrow 2sen(4x)+sen(2x)=0 \r
Usando sen(4x)=2sen(2x)cos(2x), obtemos \r
2l(2sen(2x)cos(2x)r)+sen(2x)=0 Long<=ftrightarrow sen(2x),(4cos(2x)+1)=0 \r
Logo os pontos críticos são dados por \r
sen(2x)=0implies x=kpi2 \r
ou \r
cos(2x)=-tfrac14implies x=pm12arccosl(-tfrac14r)+kpi

Passo 4

Como f tem período pi, basta estudar em [0,pi]. Os pontos críticos em [0,pi] são \r
x=0, x=alpha2, x=pi2, x=pi-alpha2, x=pi, \r
onde alpha=arccos(-tfrac14)in(0,pi). Escolhendo pontos de teste em cada subintervalo e lembrando que
f'(x)=-sen(2x),(4cos(2x)+1), \r
chegamos a:\r
  • Em l(0,tfracalpha2r): sen(2x)>0, 4cos(2x)+1>0 ,Rightarrow f'<0 (decrescente). \r
  • Em l(tfracalpha2,tfracpi2r): sen(2x)>0, 4cos(2x)+1<0 ,Rightarrow f'>0 (crescente). \r
  • Em l(tfracpi2,pi-tfracalpha2r): sen(2x)<0, 4cos(2x)+1<0 ,Rightarrow f'<0 (decrescente). \r
  • Em l(pi-tfracalpha2,pir): sen(2x)<0, 4cos(2x)+1>0 ,Rightarrow f'>0 (crescente).

Passo 5

Concluímos que, em cada período de comprimento pi, a função varia assim:\r
  • decrescente em l(kpi,;kpi+tfracalpha2r), \r
  • crescente em l(kpi+tfracalpha2,;kpi+tfracpi2r), \r
  • decrescente em l(kpi+tfracpi2,;kpi+pi-tfracalpha2r), \r
  • crescente em l(kpi+pi-tfracalpha2,;(k+1)pir), \r
    para todo kinZ.

Resposta

decrescente em l(kpi,;kpi+tfracalpha2r) e em l(kpi+tfracpi2,;kpi+pi-tfracalpha2r);
crescente em l(kpi+tfracalpha2,;kpi+tfracpi2r) e em l(kpi+pi-tfracalpha2,;(k+1)pir), \r
onde alpha=arccos(-tfrac14) e kinZ.

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