Questão 4. Mostre que
não é uma EDO exata. Depois, mostre que ao multiplicar a equação por
, ela se torna exata. Encontre a solução que satisfaz
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para mostrar que ela não é exata, depois encontrar um fator integrador
que a torna exata, e finalmente resolver com a condição
. Vamos usar o critério de exatidão para ODEs da forma
e depois construir a função potencial
.
Passo 2
Escrevendo
verificamos a exatidão pelo teste
Calculamos
e vemos que
logo a equação original não é exata.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
. Fica
Assim definimos
Passo 4
Verificamos agora a exatidão da equação multiplicada:
Como
, a equação é exata.
Passo 5
Por exatidão existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Para ajustar
, derivamos em
e igualamos a
:
Logo
Passo 6
A solução implícita é
Impondo
obtemos
Portanto a solução é
Resposta
que satisfaz
.