Questão 4. Mostre que
1t^3+e^yt+(e^y+1t y) y^prime=0
não é uma EDO exata. Depois, mostre que ao multiplicar a equação por mu(t)=t, ela se torna exata. Encontre a solução que satisfaz y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
1t^3+e^yt+l(e^y+1t,yr),y'=0
e pede para mostrar que ela não é exata, depois encontrar um fator integrador mu(t)=t que a torna exata, e finalmente resolver com a condição y(1)=1. Vamos usar o critério de exatidão para ODEs da forma
M(t,y)+N(t,y),y'=0
e depois construir a função potencial Psi(t,y).

Passo 2

Escrevendo
M(t,y)=1t^3+e^yt, N(t,y)=e^y+1t,y,
verificamos a exatidão pelo teste
partial Mpartial y stackrel?= partial Npartial t
Calculamos
partial Mpartial y =e^yt, partial Npartial t =-1t^2,y,
e vemos que
e^ytneq -1t^2,y,
logo a equação original não é exata.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(t)=t. Fica
tl(1t^3+e^ytr) + tl(e^y+1t,yr)y'=0 ;Longrightarrow; 1t^2+e^y+l(t,e^y+1yr)y'=0
Assim definimos
widetilde M(t,y)=1t^2+e^y, widetilde N(t,y)=t,e^y+1y

Passo 4

Verificamos agora a exatidão da equação multiplicada:
partial widetilde Mpartial y =partialpartial yl(1t^2+e^yr) =e^y, partial widetilde Npartial t =partialpartial tl(t,e^y+1yr) =e^y
Como partialwidetilde M/partial y=partialwidetilde N/partial t, a equação é exata.

Passo 5

Por exatidão existe Psi(t,y) tal que
partialPsipartial t =widetilde M(t,y), partialPsipartial y =widetilde N(t,y)
Integramos widetilde M em relação a t:
Psi(t,y) =integrall(1t^2+e^yr),dt =-1t+t,e^y+h(y)
Para ajustar h(y), derivamos em y e igualamos a widetilde N:
partialPsipartial y =t,e^y+h'(y) stackrel!=t,e^y+1y ;Longrightarrow; h'(y)=1y ;Longrightarrow; h(y)=ln y
Logo
Psi(t,y)=-1t+t,e^y+ln y

Passo 6

A solução implícita é
Psi(t,y)=C ;Longrightarrow; -1t+t,e^y+ln y=C
Impondo y(1)=1 obtemos
-!1+1cdot e^1+ln1 =-1+e+0 =C ;Longrightarrow; C=e-1
Portanto a solução é
-1t+t,e^y+ln y=e-1

Resposta

-1t+t,e^y+ln y=e-1,
que satisfaz y(1)=1.

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