Questão 0.2. Dê exemplos de conjuntos equipotentes e não equipotentes.
Passo 1
O enunciado pede para dar exemplos de conjuntos equipotentes (mesma cardinalidade) e não equipotentes (cardinalidades diferentes). O conteúdo é teoria de conjuntos e cardinalidade, e vamos precisar usar a definição de bijeção para mostrar equipotência.
Passo 2
Equipotência: dois conjuntos são equipotentes se existe uma bijeção entre eles. Por exemplo, considere os conjuntos finitos
A função
é bijetora, logo
e
são equipotentes. Outro exemplo com infinitos:
A bijeção
mostra que têm mesma cardinalidade infinita.
Passo 3
Não equipotência: conjuntos sem bijeção entre si. Por exemplo, conjuntos finitos de tamanhos diferentes:
Não há bijeção de
em
pois tamanhos são distintos. Outro exemplo envolvendo infinito e finito:
Não existe bijeção de um conjunto infinito para um finito.
Passo 4
Como caso extremo, dois infinitos não equipotentes são
Aqui provamos que não existe bijeção (por argumento de diagonal de Cantor), logo são não equipotentes.
Resposta
Exemplos de conjuntos equipotentes: (1) A = {1,2,3} e B = {a,b,c} com bijeção f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c; (2) N e 2N com bijeção g(n)=2n. Exemplos de conjuntos não equipotentes: (1) X = {1,2} e Y = {a,b,c} (tamanhos diferentes); (2) N e {1,2,3} (infinito vs. finito); (3) N e R (cardinalidades infinitas distintas).