Sejam A, B, C conjuntos não vazios. Mostre que:
A approx A

Passo 1

Então, a gente tem três conjuntos, $ A $, $ B $ e $ C $, que não estão vazios. O exercício pede pra gente mostrar que $ A $ é equivalente a ele mesmo, ou seja, $ A \approx A $. Aqui, estamos falando de cardinalidade, que é um jeito formal de dizer que dois conjuntos têm o mesmo “tamanho”, ou seja, têm a mesma quantidade de elementos. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é uma bijeção, que é uma função que combina cada elemento de um conjunto com exatamente um elemento do outro conjunto, sem deixar ninguém de fora.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa $ A \approx A $. Isso quer dizer que o conjunto $ A $ tem a mesma cardinalidade que ele mesmo. Em outras palavras, estamos dizendo que $ A $ tem exatamente a mesma quantidade de elementos que $ A $.

Passo 3

Para mostrar que dois conjuntos têm a mesma cardinalidade, a gente precisa encontrar uma bijeção entre eles. Uma bijeção é uma função que é injetora (cada elemento de $ A $ é mapeado para um elemento único em $ A $) e sobrejetora (todo elemento de $ A $ é atingido pela função). Se conseguirmos isso, mostramos que os conjuntos têm o mesmo “tamanho”.

Passo 4

No caso de $ A $ e $ A $, uma função muito natural para considerar é a função identidade. Isso simplesmente significa que cada elemento de $ A $ é mapeado para ele mesmo. Formalmente, podemos definir essa função $ f: A \to A $ por:
A

Passo 5

Vamos ver se essa função é uma bijeção. Primeiro, ela é injetora porque se $ f(x_1) = f(x_2) $, então $ x_1 = x_2 $. Não tem como dois elementos diferentes de $ A $ serem mapeados para o mesmo elemento. Segundo, ela é sobrejetora porque para qualquer elemento $ y $ em $ A $, existe um $ x = y $ tal que $ f(x) = y $. Assim, todo elemento de $ A $ é atingido pela função.

Passo 6

Como a função identidade $ f(x) = x $ é uma bijeção, isso mostra que $ A $ tem a mesma cardinalidade que ele mesmo.

Resposta

$ A \approx A $

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