Questão [int3] ( 1,0 \mathrm{pt} ) Usando a fórmula integral de Cauchy calcule no sentido anti-horário \oint_{C} \frac{d z}{z^{2}-1}, C:|z+1|=1.
\square -\pi i \square \pi i \square 0 \square 2 \pi i \square -2 \pi i

Passo 1

O enunciado pede para calcular, no sentido anti-horário, a integral de linha
\oint_{C}\frac{dz}{z^{2}-1},
onde a curva C é o círculo dado por |z+1|=1. Informações relevantes que temos:
  • A função a integrar é \displaystyle \frac{1}{z^{2}-1}=\frac{1}{(z-1)(z+1)}.
  • A curva C é o círculo centrado em z=-1 com raio 1.
  • A orientação é anti-horária (sentido positivo).
  • As singularidades (pólos) da função estão em z=1 e z=-1.
    O que se pergunta: avaliar a integral fechada \displaystyle \oint_{C}\frac{dz}{z^{2}-1}.

Passo 2

Vamos ver quais pólos estão dentro de C. A curva é o círculo centrado em z=-1 e raio 1.
  • Para z=-1: a distância até o centro é |-1-(-1)|=0<1, logo z=-1 está dentro de C.
  • Para z=1: a distância até o centro é |1-(-1)|=2>1, logo z=1 está fora de C.

Passo 3

Apresento a fórmula integral de Cauchy que vamos usar. Se f é função holomorfa (analítica) em e dentro de uma curva simples fechada C e a está dentro de C, então
\oint_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = 2\pi i\,f(a).
Explicando cada parte:
  • f(z) é uma função que deve ser analítica em e no interior da curva C.
  • a é um ponto interior a C.
  • A integral é tomada com orientação positiva (anti-horária), o que gera o fator 2\pi i.
    Usaremos essa fórmula colocando a nossa integranda na forma \dfrac{f(z)}{z-a} com a sendo o pólo que está dentro de C.

Passo 4

Reescrevemos a integranda isolando o fator (z+1) (já que z=-1 é o pólo dentro do círculo):
\frac{1}{z^{2}-1}=\frac{1}{(z-1)(z+1)}=\frac{g(z)}{z+1},
onde definimos
g(z)=\frac{1}{z-1}.
Note que g(z) é analítica no entorno de z=-1 (pois z=1 é diferente de -1), então as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas com a=-1 e f=g.

Passo 5

Aplicamos a fórmula de Cauchy com f=g e a=-1. Precisamos do valor g(-1):
g(-1)=\frac{1}{-1-1}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}.
Pelo enunciado a orientação é anti-horária, então usamos o sinal positivo do 2\pi i da fórmula.

Passo 6

Pelo passo anterior, a integral vale
\oint_{C}\frac{dz}{z^{2}-1}=2\pi i\cdot g(-1)=2\pi i\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-\pi i.

Resposta

-\pi i

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