Questão [int3] (
) Usando a fórmula integral de Cauchy calcule no sentido anti-horário
.
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Passo 1
O enunciado pede para calcular, no sentido anti-horário, a integral de linha
onde a curva
é o círculo dado por
. Informações relevantes que temos:
- A função a integrar é
. - A curva
é o círculo centrado em com raio . - A orientação é anti-horária (sentido positivo).
- As singularidades (pólos) da função estão em
e .
O que se pergunta: avaliar a integral fechada.
Passo 2
Vamos ver quais pólos estão dentro de
. A curva é o círculo centrado em
e raio
.
- Para
: a distância até o centro é , logo está dentro de . - Para
: a distância até o centro é , logo está fora de .
Passo 3
Apresento a fórmula integral de Cauchy que vamos usar. Se
é função holomorfa (analítica) em e dentro de uma curva simples fechada
e
está dentro de
, então
Explicando cada parte:
-
é uma função que deve ser analítica em e no interior da curva . -
é um ponto interior a . - A integral é tomada com orientação positiva (anti-horária), o que gera o fator
.
Usaremos essa fórmula colocando a nossa integranda na formacom sendo o pólo que está dentro de .
Passo 4
Reescrevemos a integranda isolando o fator
(já que
é o pólo dentro do círculo):
onde definimos
Note que
é analítica no entorno de
(pois
é diferente de
), então as hipóteses da fórmula de Cauchy estão satisfeitas com
e
.
Passo 5
Aplicamos a fórmula de Cauchy com
e
. Precisamos do valor
:
Pelo enunciado a orientação é anti-horária, então usamos o sinal positivo do
da fórmula.
Passo 6
Pelo passo anterior, a integral vale