Questão 3: Em uma expansão adiabática reversível de um gás ideal com
independentes dà temperatura, a pressão e o volume se relacionam pela expressão
Mostre que o trabalho realizado em uma expansão de
para
é dado por
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede a relação indicada:
- É dado que
constante durante o processo. - A constante adiabática é
(assumida independente da temperatura). - O gás passa do estado inicial
para o estado final . - A tarefa é mostrar que o trabalho realizado na expansão é
Passo 2
Entender o que é “trabalho” aqui e qual convenção de sinais vamos usar.
- Em um processo quase-estático (reversível) o elemento de trabalho realizado sobre o sistema é
.
Explicação curta e intuitiva: se o volume aumenta (), o gás empurra o ambiente e portanto o trabalho sobre o sistema é negativo; se o volume diminui, o ambiente faz trabalho sobre o sistema e . - Assim o trabalho total sobre o sistema ao ir de
a é
Passo 3
Escrever
em função de
usando a condição dada
constante.
- Chamemos a constante de
. Então
- Sabemos também que
pode ser expresso pelos estados inicial e final:
Passo 4
Substituir
na integral do trabalho:
Aqui vamos usar a fórmula de integração básica: para
,
No nosso caso
e note que
(para um gás ideal mono/diatômico
), então a fórmula se aplica.
Passo 5
Calcular a integral passo a passo:
- Primeiro fatoramos a constante
:
- Aplicando a regra de potência com
:
- Portanto
Passo 6
Simplificar a expressão usando
e identificar
:
- Trocar o sinal do denominador:
- Note que, por definição de
,
- Substituindo essas igualdades em
obtemos
Passo 7
Cheque físico rápido (sanidade): para uma expansão
tipicamente
(temperatura cai), então
e como
temos
, ou seja, trabalho sobre o sistema é negativo — isso bate com a convenção usada no início.