Questão 3: Em uma expansão adiabática reversível de um gás ideal com \gamma=\frac{C_{p}}{C_{V}} independentes dà temperatura, a pressão e o volume se relacionam pela expressão
p V^{\gamma}=\text { constante }
Mostre que o trabalho realizado em uma expansão de p_{1}, V_{1} para p_{2}, V_{2} é dado por
w=\frac{p_{2} V_{2}-p_{1} V_{1}}{\gamma-1}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a relação indicada:
  • É dado que pV^{\gamma}= constante durante o processo.
  • A constante adiabática é \gamma=\dfrac{C_{p}}{C_{V}} (assumida independente da temperatura).
  • O gás passa do estado inicial (p_{1},V_{1}) para o estado final (p_{2},V_{2}).
  • A tarefa é mostrar que o trabalho realizado na expansão é
w=\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{\gamma-1}.

Passo 2

Entender o que é “trabalho” aqui e qual convenção de sinais vamos usar.
  • Em um processo quase-estático (reversível) o elemento de trabalho realizado sobre o sistema é \delta w=-p\,dV.
    Explicação curta e intuitiva: se o volume aumenta ( dV>0), o gás empurra o ambiente e portanto o trabalho sobre o sistema é negativo; se o volume diminui, o ambiente faz trabalho sobre o sistema e \delta w>0.
  • Assim o trabalho total sobre o sistema ao ir de V_{1} a V_{2} é
w=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} p\,dV.

Passo 3

Escrever p em função de V usando a condição dada pV^{\gamma}= constante.
  • Chamemos a constante de C. Então
pV^{\gamma}=C\quad\Rightarrow\quad p=C\,V^{-\gamma}.
  • Sabemos também que C pode ser expresso pelos estados inicial e final:
C=p_{1}V_{1}^{\gamma}=p_{2}V_{2}^{\gamma}.

Passo 4

Substituir p=CV^{-\gamma} na integral do trabalho:
w=-\int_{V_{1}}^{V_{2}} C\,V^{-\gamma}\,dV.
Aqui vamos usar a fórmula de integração básica: para n\neq -1,
\int V^{n}\,dV=\frac{V^{n+1}}{n+1}.
No nosso caso n=-\gamma e note que \gamma\neq1 (para um gás ideal mono/diatômico \gamma>1), então a fórmula se aplica.

Passo 5

Calcular a integral passo a passo:
  • Primeiro fatoramos a constante C:
w=-C\int_{V_{1}}^{V_{2}} V^{-\gamma}\,dV.
  • Aplicando a regra de potência com n=-\gamma:
\int V^{-\gamma}\,dV=\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}.
  • Portanto
w=-C\left[\frac{V^{1-\gamma}}{1-\gamma}\right]_{V_{1}}^{V_{2}} =-\frac{C}{1-\gamma}\left(V_{2}^{1-\gamma}-V_{1}^{1-\gamma}\right).

Passo 6

Simplificar a expressão usando 1-\gamma=-(\gamma-1) e identificar C V^{1-\gamma}=pV:
  • Trocar o sinal do denominador:
-\frac{C}{1-\gamma}=\frac{C}{\gamma-1}.
  • Note que, por definição de C,
C V_{2}^{1-\gamma}=p_{2}V_{2},\qquad C V_{1}^{1-\gamma}=p_{1}V_{1}.
  • Substituindo essas igualdades em w obtemos
w=\frac{C}{\gamma-1}\left(V_{2}^{1-\gamma}-V_{1}^{1-\gamma}\right) =\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{\gamma-1}.

Passo 7

Cheque físico rápido (sanidade): para uma expansão V_{2}>V_{1} tipicamente p_{2}V_{2}<p_{1}V_{1} (temperatura cai), então p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}<0 e como \gamma-1>0 temos w<0, ou seja, trabalho sobre o sistema é negativo — isso bate com a convenção usada no início.

Resposta

w=\frac{p_{2}V_{2}-p_{1}V_{1}}{\gamma-1}

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