Questão 5: Um gás ideal monoatômico a 298 K e 1 bar é expandido de forma reversível e adiabática até que sua pressão seja igual a 0,5 bar. Calcule q por mol, w por mol, \Delta \bar{U} e \Delta \bar{H}. Considere \bar{C}_{V}=3 / 2 R

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que está listado abaixo:
  • Dados fornecidos:
    • Um gás ideal monoatômico inicialmente a T_i=298\\ \mathrm{K} e P_i=1{,}0\\ \mathrm{bar}.
    • Processo: expansão reversível e adiabática até P_f=0{,}5\\ \mathrm{bar}.
    • Capacidade térmica molar a volume constante dada: \bar{C}_V=\dfrac{3}{2}R.
  • O que devemos calcular:
    1. q por mol (calor trocado por mol).
    2. w por mol (trabalho por mol; usar a convenção usual de termodinâmica química: w é trabalho feito sobre o sistema).
    3. \Delta \bar{U} (variação de energia interna por mol).
    4. \Delta \bar{H} (variação de entalpia por mol).

Passo 2

Regras e convenções úteis (importantes para não confundir sinal e fórmulas):
  • Primeira lei da termodinâmica (por mol): \Delta \bar{U}=q+w, onde q é o calor recebido pelo sistema e w é o trabalho feito sobre o sistema.
  • Para um processo adiabático, por definição o sistema não troca calor com a vizinhança, logo q=0.
  • Para uma expansão do gás (volume aumenta) o sistema realiza trabalho sobre a vizinhança; com a convenção w = trabalho sobre o sistema, isso aparece como w<0 (o trabalho total sobre o sistema é negativo).
  • Para um gás ideal monoatômico a energia interna e a entalpia dependem só da temperatura. Assim: \Delta \bar{U}=\bar{C}_V\Delta T,\qquad \Delta \bar{H}=\bar{C}_P\Delta T,com \bar{C}_P=\bar{C}_V+R.

Passo 3

Determinar a razão entre temperaturas inicial e final no processo adiabático reversível.
  • Para um processo adiabático e reversível em gás ideal vale a relação P V^{\gamma}=\text{constante},onde \gamma=\dfrac{\bar{C}_P}{\bar{C}_V}.
  • A partir de P V^{\gamma}= const e da equação de estado PV=RT (por mol) podemos obter a relação entre T e P ao eliminar V. O resultado útil é T_f = T_i\left(\dfrac{P_f}{P_i}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}.Vou explicar por quê, de forma curta: de PV^\gamma= const e PV=RT obtemos T V^{\gamma-1}= const; substituindo V=RT/P e fazendo cancelamentos chega-se à expressão acima (os fatores constantes como R desaparecem ao relacionar estados inicial e final).

Passo 4

Calcular \gamma para gás monoatômico e aplicar a relação para achar T_f.
  • Para monoatômico dado \bar{C}_V=\dfrac{3}{2}R, então \bar{C}_P=\bar{C}_V+R=\dfrac{3}{2}R+R=\dfrac{5}{2}R,e \gamma=\dfrac{\bar{C}_P}{\bar{C}_V}=\dfrac{\tfrac{5}{2}R}{\tfrac{3}{2}R}=\dfrac{5}{3}.
  • O expoente da relação T_f = T_i (P_f/P_i)^{(\gamma-1)/\gamma} é \dfrac{\gamma-1}{\gamma}=\dfrac{\tfrac{5}{3}-1}{\tfrac{5}{3}}=\dfrac{2/3}{5/3}=\dfrac{2}{5}=0{,}4.
  • Substituindo T_i=298\\ \mathrm{K} e P_f/P_i=0{,}5: T_f=298\cdot(0{,}5)^{0{,}4}.Calcule (0{,}5)^{0{,}4}=e^{0{,}4\ln(0{,}5)}\approx0{,}757858. Portanto T_f\approx298\cdot0{,}757858\approx225{,}9\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Calcular \Delta T que é necessário para \Delta \bar{U} e \Delta \bar{H}.
  • \Delta T = T_f-T_i\approx225{,}9-298=-72{,}1\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular \Delta \bar{U} por mol usando \Delta \bar{U}=\bar{C}_V\Delta T.
  • Primeiro escrevemos \bar{C}_V=\dfrac{3}{2}R. Tomaremos R=8{,}314\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}}.
  • Então \bar{C}_V=\dfrac{3}{2}\cdot8{,}314=12{,}471\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} (aprox.).
  • Multiplicando: \Delta \bar{U}=\bar{C}_V\Delta T =12{,}471\cdot(-72{,}1)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} \approx-900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.(valor mais preciso \approx-899{,}5\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}; arredondamos para três algarismos significativos: -900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.)

Passo 7

Encontrar q por mol e w por mol usando a primeira lei.
  • Como o processo é adiabático, por definição q=0 (por mol: q=0).
  • Pela primeira lei \Delta \bar{U}=q+w. Como q=0, segue w=\Delta \bar{U}.
  • Portanto, o trabalho por mol é igual à variação de energia interna por mol, isto é w\approx-900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.Interpretação do sinal: w<0 significa que, no processo (expansão), o sistema realizou trabalho sobre o entorno (ou seja, trabalho efetuado sobre o sistema é negativo).

Passo 8

Calcular \Delta \bar{H} por mol.
  • Usamos \Delta \bar{H}=\bar{C}_P\Delta T e \bar{C}_P=\dfrac{5}{2}R.
  • Calcule \bar{C}_P=\dfrac{5}{2}\cdot8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}} (aprox.).
  • Então \Delta \bar{H}=\bar{C}_P\Delta T =20{,}785\cdot(-72{,}1)\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} \approx-1\,500\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.(valor mais preciso \approx-1\,499{,}2\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}; arredondado: -1{,}50\times10^3\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.)
  • Observação alternativa (rápida): também vale \Delta \bar{H}=\Delta \bar{U}+R\Delta T; usando \Delta \bar{U}\approx-900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} e R\Delta T\approx8{,}314\cdot(-72{,}1)\approx-600\\ \mathrm{J\;mol^{-1}} dá o mesmo resultado -1500\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.

Resposta

q=0 (por mol)
w\approx-900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta \bar{U}\approx-900\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}
\Delta \bar{H}\approx-1{,}50\times10^{3}\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}

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