Questão 5 - Explique, com base em expressões matemáticas e gráficos:
a) Diferenças entre reações de ordem zero, primeira e segunda
b) Como identificar cada ordem experimentalmente
c) Relação entre meia-vida e ordem da reação
a) Diferenças entre reações de ordem zero, primeira e segunda
b) Como identificar cada ordem experimentalmente
c) Relação entre meia-vida e ordem da reação
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Explicar as diferenças entre reações de ordem zero, primeira e segunda usando expressões matemáticas e gráficos.
- (b) Explicar como identificar experimentalmente cada uma dessas ordens.
- (c) Mostrar a relação entre a meia-vida e a ordem da reação.
Informações disponíveis (nenhuma numérica fornecida no enunciado): apenas a definição conceitual de “ordem da reação” e a necessidade de usar leis de velocidade, integrais da equação diferencial de velocidade e representações gráficas. A resolução deve fornecer fórmulas, interpretação de gráficos e procedimentos experimentais para identificação.
Passo 2
Conceito básico e equação diferencial geral (aula rápida)
- A “ordem” da reação em relação a uma espécie
é o expoente na lei de velocidade empírica que relaciona a velocidade instantânea com a concentração:
onde:
-
é a concentração de (por exemplo em ), -
é o tempo (por exemplo em ), -
é a constante de velocidade (unidades dependem da ordem), -
é a ordem da reação em relação a (um número real, aqui consideramos ).
Explicação do que fazer matematicamente: para cada ordem nós resolvemos a equação diferencial acima para obter
(a forma integrada) — isso dá a curva concentração vs tempo que se espera no gráfico e permite derivar a expressão da meia-vida.
Passo 3
Ordem zero: equação diferencial, integração e interpretação gráfica
- Equação diferencial para ordem zero:
Isto significa que a velocidade é constante e independe de
.
- Integrando a equação (integração simples):
Fazendo a integração obtemos a forma integrada:
onde
é a concentração inicial em
.
-
Interpretação gráfica:
- Gráfico
vs : uma reta decrescente de inclinação . Quando chega a zero, a reta atinge . - Gráfico
vs : não-linear (curvado). - Gráfico
vs : não-linear.
- Gráfico
-
Unidades de
: - Para ordem zero,
tem unidades de concentração/tempo, por exemplo .
- Para ordem zero,
-
Meia-vida (derivação):
A meia-vidaé o tempo tal que . Substituindo na expressão integrada:
Observação importante: para ordem zero,
depende de
(quanto maior
, maior a meia-vida).
Passo 4
Ordem um: equação diferencial, integração e interpretação gráfica
- Equação diferencial para ordem um:
- Integrando (separação de variáveis):
Isto dá:
ou reorganizando:
Também é comum escrever na forma exponencial:
-
Interpretação gráfica:
- Gráfico
vs : curva decrescente exponencial que se aproxima de zero assintoticamente (não zera em tempo finito). - Gráfico
vs : uma reta com inclinação . Isso é crucial experimentalmente: linearidade de contra indica ordem um. - Gráfico
vs : não-linear (curvado). - Velocidade instantânea
é diretamente proporcional a (reta através da origem no gráfico vs ).
- Gráfico
-
Unidades de
: - Para ordem um,
tem unidades de , por exemplo .
- Para ordem um,
-
Meia-vida:
Para ordem um a meia-vida vem da condição. Usando :
Tomando logaritmo natural:
Observação importante: para ordem um,
é independente de
; é constante ao longo da reação.
Passo 5
Ordem dois: equação diferencial, integração e interpretação gráfica
- Equação diferencial para ordem dois (caso simples
produtos ou taxa proporcional a ):
- Integrando (separação de variáveis):
A integração dá:
ou seja a forma integrada usada experimentalmente:
-
Interpretação gráfica:
- Gráfico
vs : curva decrescente mais “íngreme” que uma exponencial para concentrações baixas — não zera em tempo finito, mas a taxa cai à medida que diminui. - Gráfico
vs : uma reta com inclinação . Assim, linearizar com contra é o teste padrão para ordem dois. - Gráfico
vs : não-linear. - Velocidade
é proporcional ao quadrado de , logo vs é uma parábola (não uma reta).
- Gráfico
-
Unidades de
: - Para ordem dois,
tem unidades de , por exemplo ou .
- Para ordem dois,
-
Meia-vida:
Usandona forma integrada:
Subtraindo
de ambos os lados:
Observação importante: para ordem dois,
depende inversamente de
(quanto maior
, menor a meia-vida).
Passo 6
Como identificar experimentalmente a ordem (passo a passo prático)
Vou listar métodos experimentais usados em prova e laboratório, com a matemática que você precisa aplicar:
Vou listar métodos experimentais usados em prova e laboratório, com a matemática que você precisa aplicar:
-
Método da linearização das formas integradas (gráficos):
- Meça
em vários instantes. - Faça três gráficos separados:
- Gráfico
vs : se for uma reta (boa linearidade), a reação é de ordem zero; a inclinação será . - Gráfico
vs : se for uma reta, é reação de primeira ordem; a inclinação será . - Gráfico
vs : se for uma reta, é reação de segunda ordem; a inclinação será .
- Gráfico
- Interpretação prática: a reta com melhor R² (linearidade) indica a ordem correta.
- Meça
-
Método da velocidade inicial (método das velocidades iniciais):
- Prepare várias experiências com diferentes concentrações iniciais
e meça a velocidade inicial (derivada em ). - Use a lei de velocidade
. - Tomando logaritmo:
- Prepare várias experiências com diferentes concentrações iniciais
- Faça um gráfico
vs . A inclinação da reta é (a ordem). Isso funciona bem quando só uma espécie varia. - Este método é especialmente útil quando a reação envolve várias espécies e se quer determinar a ordem parcial em relação a cada uma.
-
Observação direta da dependência da velocidade de
: - Se a velocidade é praticamente constante quando
varia, a reação tende a ser de ordem zero. - Se a velocidade é proporcional a
, é primeira ordem. - Se a velocidade aumenta com cerca de
, é segunda ordem.
- Se a velocidade é praticamente constante quando
-
Unidades de
como pista: - Meça
(a partir do ajuste do gráfico adequado). Compare as unidades: - ordem zero:
tem unidades . - ordem um:
tem unidades . - ordem dois:
tem unidades .
- ordem zero:
- Se você já tem
em mãos, as unidades ajudam a confirmar a ordem determinada.
- Meça
Passo 7
Exemplos numéricos rápidos (para fixar a ideia)
- Suponha
. - Ordem zero com
: - Ordem um com
: - Ordem dois com
:
- Ordem zero com
- Observação: mesmo com o mesmo valor numérico de
, as meias-vidas e o significado de mudam por causa das unidades e da dependência com .
Passo 8
Resumo comparativo (útil para decorar para a prova)
-
Formas integradas:
- Ordem zero:
. - Ordem um:
(ou ). - Ordem dois:
.
- Ordem zero:
-
Gráficos lineares a testar:
-
vs linear → ordem zero. -
vs linear → ordem um. -
vs linear → ordem dois.
-
-
Dependência da meia-vida com
: - Ordem zero:
(proporcional a ). - Ordem um:
(independente de ). - Ordem dois:
(inversamente proporcional a ).
- Ordem zero:
Resposta
(a) Ordem zero:
; velocidade constante
; gráfico
vs
é uma reta; unidades
. Ordem um:
(ou
); velocidade
; gráfico
vs
é reta; unidades
. Ordem dois:
; velocidade
; gráfico
vs
é reta; unidades
.
(b) Identificação experimental: medir
e testar qual linearização funciona —
vs
(ordem zero),
vs
(ordem um),
vs
(ordem dois); ou usar método das velocidades iniciais e plotar
vs
cuja inclinação é a ordem
; verificar também as unidades de
.
(c) Meia-vida:
- Ordem zero:
(depende de ). - Ordem um:
(independe de ). - Ordem dois:
(inversamente proporcional a ).