Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Antes de aplicar o método do fator integrante, verifique se as equações diferenciais são lineares e, quando necessário, reescreva-as na forma padrão.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
- Equação diferencial:
. - Condição inicial:
. - Domínio indicado:
.
O que o problema pede:
- Verificar se a equação é linear.
- Quando necessário, reescrever na forma padrão (coeficiente de
igual a 1). - Resolver por fator integrante e aplicar a condição inicial para obter a solução única no intervalo indicado.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- O coeficiente de
é . Como o problema diz , temos nesse domínio, então é permitido dividir por para obter a forma padrão.
Passo 2
Verificação de linearidade e reescrita na forma padrão.
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
com
funções de
. A equação dada tem exatamente essa forma com
,
,
. Portanto a equação é linear.
Como
para
, dividimos ambos os lados por
para obter a forma padrão
:
Aqui
e
.
Passo 3
Apresentação do método do fator integrante (rápida aula).
Para resolver uma equação linear de primeira ordem na forma
usa-se o fator integrante
dado por
O motivo: multiplicando a equação por
o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto
, isto é,
Assim integrar ambos os lados em
fornece
, e daí obtém-se
.
Passo 4
Cálculo do fator integrante para este problema.
Temos
. Então
Logo
Como o enunciado restringe a
,
, mas
. Portanto podemos tomar
(Aqui não há ambiguidade de sinal porque
para todo
.)
Passo 5
Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando
por
obtemos
O lado direito simplifica para
. O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto a equação fica
Passo 6
Integração e cálculo explícito da primitiva
.
Integramos ambos os lados em
:
Precisamos calcular
. Vamos usar integração por partes. Tomamos
-
então , -
então .
Pela fórmula
,
E
. Portanto
Passo 7
Expressar a solução geral antes da condição inicial.
Substituindo a primitiva encontrada em
, obtemos
Isolando
,
Ou, de forma compacta,
Passo 8
Aplicar a condição inicial
para determinar a constante
.
Avalia-se a expressão em
. Note que
e
. Substituindo:
Como
, segue
.
Passo 9
Conclusão — solução particular que satisfaz a condição inicial no intervalo
.
Com
a solução é