Resolva os seguintes problemas de valor inicial. Antes de aplicar o método do fator integrante, verifique se as equações diferenciais são lineares e, quando necessário, reescreva-as na forma padrão.
t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=e^{-t}, \quad y(-1)=0, t<0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial:
  • Equação diferencial: t^{3}y'+4t^{2}y=e^{-t}.
  • Condição inicial: y(-1)=0.
  • Domínio indicado: t<0.
O que o problema pede:
  • Verificar se a equação é linear.
  • Quando necessário, reescrever na forma padrão (coeficiente de y' igual a 1).
  • Resolver por fator integrante e aplicar a condição inicial para obter a solução única no intervalo indicado.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • O coeficiente de y' é t^{3}. Como o problema diz t<0, temos t^{3}\neq0 nesse domínio, então é permitido dividir por t^{3} para obter a forma padrão.

Passo 2

Verificação de linearidade e reescrita na forma padrão.
Uma equação diferencial de primeira ordem é linear se pode ser escrita como
a(t) y' + b(t) y = c(t)
com a,b,c funções de t. A equação dada tem exatamente essa forma com a(t)=t^{3}, b(t)=4t^{2}, c(t)=e^{-t}. Portanto a equação é linear.
Como t^{3}\neq0 para t<0, dividimos ambos os lados por t^{3} para obter a forma padrão y'+p(t)y=g(t):
y' + \frac{4}{t}\,y = \frac{e^{-t}}{t^{3}}.
Aqui p(t)=\dfrac{4}{t} e g(t)=\dfrac{e^{-t}}{t^{3}}.

Passo 3

Apresentação do método do fator integrante (rápida aula).
Para resolver uma equação linear de primeira ordem na forma
y' + p(t)y = g(t),
usa-se o fator integrante \mu(t) dado por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
O motivo: multiplicando a equação por \mu(t) o lado esquerdo passa a ser a derivada do produto \mu(t)y, isto é,
\big(\mu(t)y\big)' = \mu(t)g(t).
Assim integrar ambos os lados em t fornece \mu(t)y=\int \mu(t)g(t)\,dt + C, e daí obtém-se y.

Passo 4

Cálculo do fator integrante para este problema.
Temos p(t)=\dfrac{4}{t}. Então
\int p(t)\,dt=\int \frac{4}{t}\,dt = 4\ln|t|.
Logo
\mu(t)=\exp\!\big(4\ln|t|\big)=|t|^{4}.
Como o enunciado restringe a t<0, |t|=-t, mas (-t)^{4}=t^{4}. Portanto podemos tomar
\mu(t)=t^{4}.
(Aqui não há ambiguidade de sinal porque t^{4}>0 para todo t\neq0.)

Passo 5

Multiplicar a equação padrão pelo fator integrante e reconhecer a derivada do produto.
Multiplicando
y' + \frac{4}{t}y = \frac{e^{-t}}{t^{3}}
por \mu(t)=t^{4} obtemos
t^{4}y' + 4t^{3}y = t^{4}\cdot\frac{e^{-t}}{t^{3}}.
O lado direito simplifica para t e^{-t}. O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto t^{4}y, pois
\big(t^{4}y\big)' = 4t^{3}y + t^{4}y'.
Portanto a equação fica
\big(t^{4}y\big)' = t e^{-t}.

Passo 6

Integração e cálculo explícito da primitiva \int t e^{-t}\,dt.
Integramos ambos os lados em t:
t^{4}y = \int t e^{-t}\,dt + C.
Precisamos calcular \int t e^{-t}\,dt. Vamos usar integração por partes. Tomamos
  • u=t então du=dt,
  • dv=e^{-t}dt então v=-e^{-t}.
Pela fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du,
\int t e^{-t}\,dt = u v - \int v\,du = -t e^{-t} - \int (-e^{-t})\,dt = -t e^{-t} + \int e^{-t}\,dt.
E \int e^{-t}\,dt = -e^{-t}. Portanto
\int t e^{-t}\,dt = -t e^{-t} - e^{-t} + C = -(t+1)e^{-t} + C.

Passo 7

Expressar a solução geral antes da condição inicial.
Substituindo a primitiva encontrada em t^{4}y = \int t e^{-t}\,dt + C, obtemos
t^{4}y = -(t+1)e^{-t} + C.
Isolando y,
y(t) = -\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}} + \frac{C}{t^{4}}.
Ou, de forma compacta,
y(t)=\frac{-(t+1)e^{-t}+C}{t^{4}}.

Passo 8

Aplicar a condição inicial y(-1)=0 para determinar a constante C.
Avalia-se a expressão em t=-1. Note que (-1)^{4}=1 e e^{-(-1)}=e^{1}=e. Substituindo:
y(-1)=\frac{-(-1+1)e^{-(-1)}+C}{(-1)^{4}} = \frac{-(0)\cdot e + C}{1} = C.
Como y(-1)=0, segue C=0.

Passo 9

Conclusão — solução particular que satisfaz a condição inicial no intervalo t<0.
Com C=0 a solução é
y(t) = -\frac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\qquad t<0.

Resposta

y(t) = -\dfrac{(t+1)e^{-t}}{t^{4}},\quad t<0.

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