A temperatura de um gás no ponto
é dada por
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto
na direção de
?
(b) Qual a direção e sentido da máxima taxa de variação da temperatura no ponto
?
(c) Qual a máxima taxa de variação da temparuatura no ponto
?
Resposta:
Do gradiente
.
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto
(b) Qual a direção e sentido da máxima taxa de variação da temperatura no ponto
(c) Qual a máxima taxa de variação da temparuatura no ponto
Passo 1
O enunciado descreve a temperatura de um gás por
e pede:
– (a) a taxa de variação de em
na direção de
,
– (b) a direção e sentido da máxima taxa de variação em ,
– (c) o valor dessa máxima taxa.
Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.
– (a) a taxa de variação de
– (b) a direção e sentido da máxima taxa de variação em
– (c) o valor dessa máxima taxa.
Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.
Passo 2
Calculemos o gradiente de
:
Como
avaliando em
obtemos
Passo 3
Para a derivada direcional usamos o vetor unitário
logo
.
Então a taxa de variação de na direção de
em
é
Então a taxa de variação de
Passo 4
A direção e sentido da máxima taxa de variação de
em
é justamente o sentido do vetor gradiente naquele ponto, ou seja,
Se for necessário o vetor unitário, basta dividir por
.
Passo 5
O valor da máxima taxa de variação é a norma do gradiente em
:
Resposta
(a)
(b) na direção de , no sentido de aumento
(c)
(b) na direção de
(c)