A temperatura de um gás no ponto (x, y, z) é dada por G(x, y, z)=x^2-5 x y+y^2 z
(a) Qual a taxa de variação da temperatura no ponto (1,2,3) na direção de v=(2, 1, 4) ?
(b) Qual a direção e sentido da máxima taxa de variação da temperatura no ponto (1,2,3) ?
(c) Qual a máxima taxa de variação da temparuatura no ponto (1,2,3) ?
Resposta: (a)-27raiz21,(b) Do gradiente nabla G(1,2,3)=(-8,4,9), (c)|nabla G(1,2,3)|=raiz194.

Passo 1

O enunciado descreve a temperatura de um gás por
G(x,y,z)=x^2-5xy+y^2z
e pede:
– (a) a taxa de variação de G em (1,2,3) na direção de v=(2,1,4),
– (b) a direção e sentido da máxima taxa de variação em (1,2,3),
– (c) o valor dessa máxima taxa.
Para isso vamos usar derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional.

Passo 2

Calculemos o gradiente de G:
nabla G(x,y,z) =l(partial Gpartial x,,partial Gpartial y,,partial Gpartial zr)
Como
partial Gpartial x=2x-5y, partial Gpartial y=-5x+2yz, partial Gpartial z=y^2,
avaliando em (1,2,3) obtemos
nabla G(1,2,3)=l(2cdot1-5cdot2,;-5cdot1+2cdot2cdot3,;2^2r)=(-8,,7,,4)

Passo 3

Para a derivada direcional usamos o vetor unitário
u=v|v|, |v|=raiz2^2+1^2+4^2=raiz21,
logo u=(2,1,4)/raiz21.
Então a taxa de variação de G na direção de v em (1,2,3) é
DuG =nabla G(1,2,3)cdotu =(-8,7,4)cdot(2,1,4)raiz21 =-16+7+16raiz21 =7raiz21

Passo 4

A direção e sentido da máxima taxa de variação de G em (1,2,3) é justamente o sentido do vetor gradiente naquele ponto, ou seja,
nabla G(1,2,3)=(-8,,7,,4)
Se for necessário o vetor unitário, basta dividir por raiz129.

Passo 5

O valor da máxima taxa de variação é a norma do gradiente em (1,2,3):
|nabla G(1,2,3)| =raiz(-8)^2+7^2+4^2 =raiz64+49+16 =raiz129

Resposta

(a) 7raiz21
(b) na direção de nabla G(1,2,3)=(-8,7,4), no sentido de aumento
(c) raiz129

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