Seja z=f(x, y) uma função definida implicitamente por x z+y e^x=z^2+c x, onde c é uma constante real. Se f(1,0)=-1, o valor de c+partial fpartial x(1,0) é igual a:
Escolha uma opção:
a. -5 / 3
b. -7 / 3
c. -3 / 5
d. 1 / 3
e. 3 / 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função $ z = f(x, y) $ definida de forma implícita pela equação $ x z + y e^{x} = z^{2} + c x $. O objetivo é encontrar o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de funções implícitas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Sabemos que $ f(1, 0) = -1 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $, $ z = -1 $. Vamos substituir esses valores na equação original:
c
Simplificando:
f(1, 0) = -1
Então:
x = 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a $ x $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $:
partial fpartial x(1,0)
Aplicando as regras de derivação:
x
Como estamos avaliando em $ y = 0 $, a equação simplifica para:
z
Rearranjando para isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
x
y
Então:
ddx(x z) + ddx(y e^x) = ddx(z^2) + ddx(c x)

Passo 4

Agora, vamos avaliar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = -1 $:
partial zpartial x
Sabemos que $ c = -2 $, então:
x = 1

Passo 5

Finalmente, vamos calcular $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $:
c + partial fpartial x(1,0)

Resposta

A resposta correta é a letra b. $ -\frac{7}{3} $.

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