Seja
uma função definida implicitamente por
, onde
é uma constante real. Se
, o valor de
é igual a:
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função $ z = f(x, y) $ definida de forma implícita pela equação $ x z + y e^{x} = z^{2} + c x $. O objetivo é encontrar o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para resolver isso, vamos usar cálculo de funções implícitas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de $ c $. Sabemos que $ f(1, 0) = -1 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $, $ z = -1 $. Vamos substituir esses valores na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para isso, vamos diferenciar a equação original em relação a $ x $, tratando $ z $ como uma função de $ x $ e $ y $:
Aplicando as regras de derivação:
Como estamos avaliando em $ y = 0 $, a equação simplifica para:
Rearranjando para isolar $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Então:
Passo 4
Agora, vamos avaliar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = -1 $:
Sabemos que $ c = -2 $, então:
Passo 5
Finalmente, vamos calcular $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $:
Resposta
A resposta correta é a letra b. $ -\frac{7}{3} $.