Questão 4: Explique resumidamente o método da integração por partes para integrais indefinidas com as suas palavras. Solucione a integral \int 6 x^{2} e^{x} d x e use essa solução como exemplo na explicação.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar resumidamente o método da integração por partes com minhas palavras, e (2) resolver a integral \int 6 x^{2} e^{x}\,dx usando essa explicação como exemplo.
Informações dadas no enunciado: a integral é indefinida e a função integranda é 6 x^{2} e^{x}. Não há outras restrições.

Passo 2

O que é a integração por partes (explicação curta e sua origem): comece lembrando a regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
(uv)' = u'v + uv'.
Integrando ambos os lados em relação a x obtemos
\int (u'v + uv')\,dx = \int (uv)'\,dx = uv + C.
Reescrevendo e isolando \int u\,v'\,dx vem a fórmula da integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui cada símbolo significa: u é uma função escolhida (dependendo de x), du é sua diferencial (du = u'(x)\,dx); dv é a outra parte do integrando que tomamos como diferencial, e v é uma primitiva de dv (isto é, v = \int dv). Intuição: transferimos a derivação de uma função para a outra, na esperança de tornar a nova integral \int v\,du mais simples que a original \int u\,dv.

Passo 3

Como escolher u e dv (heurística prática para a prova): escolha u de modo que ao derivá-la ela fique “mais simples” (por exemplo polinômios diminuem grau), e escolha dv como algo cuja primitiva v seja fácil de calcular. No nosso caso com polinômio vezes exponencial, a escolha típica é u= polinômio e dv= exponencial, porque derivando o polinômio o grau cai e integrar a exponencial é trivial. Uma regra mnemônica comum (sem jargão) é: prefira transformar polinômios ao invés de exponenciais ou trigonométricas, já que polinômios simplificam rápido por diferenciação.

Passo 4

Aplicando ao exemplo: comece escrevendo a integral
\int 6 x^{2} e^{x}\,dx.
Posso tirar a constante 6 para fora:
6\int x^{2} e^{x}\,dx.
Agora vamos aplicar integração por partes à integral \int x^{2} e^{x}\,dx.

Passo 5

Primeira aplicação da fórmula: escolho
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Calculo du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Agora uso a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \int e^{x} \cdot (2x)\,dx.
Escrevendo de forma clara:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.
Observe que reduzimos o grau do polinômio de x^{2} para x — bom sinal, porque a integral ficou mais simples.

Passo 6

Segunda aplicação da fórmula para \int x e^{x}\,dx: escolho agora
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx,
então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x}.
Voltando à expressão do Passo 5:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr).

Passo 7

Simplificando a expressão: distribuo o -2 e fatoro e^{x} porque aparece em todos os termos:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2x e^{x} + 2 e^{x} = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr).
Agora volto à constante que eu havia tirado no Passo 4: multiplico por 6:
\int 6 x^{2} e^{x}\,dx = 6\,e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 8

Recapitulando as dicas práticas para a prova, usando este exemplo como referência: (1) tire constantes fora; (2) escolha u que ao derivar fica mais simples (polinômio é uma ótima escolha) e dv cuja primitiva é simples (aqui e^{x}); (3) se sobrar outro produto semelhante, aplique por partes novamente até resolver; (4) ao final, sempre some a constante de integração C. Você pode usar a mesma ideia para produtos polinômio·trigonométrico ou polinômio·exponencial; geralmente depois de algumas aplicações por partes o polinômio some.

Resposta

6 e^{x} (x^{2} - 2x + 2) + C

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