Questão 4: Explique resumidamente o método da integração por partes para integrais indefinidas com as suas palavras. Solucione a integral
e use essa solução como exemplo na explicação.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar resumidamente o método da integração por partes com minhas palavras, e (2) resolver a integral
usando essa explicação como exemplo.
Informações dadas no enunciado: a integral é indefinida e a função integranda é . Não há outras restrições.
Informações dadas no enunciado: a integral é indefinida e a função integranda é
Passo 2
O que é a integração por partes (explicação curta e sua origem): comece lembrando a regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Integrando ambos os lados em relação a
obtemos
Reescrevendo e isolando
vem a fórmula da integração por partes:
Aqui cada símbolo significa:
é uma função escolhida (dependendo de
),
é sua diferencial
;
é a outra parte do integrando que tomamos como diferencial, e
é uma primitiva de
(isto é,
). Intuição: transferimos a derivação de uma função para a outra, na esperança de tornar a nova integral
mais simples que a original
.
Passo 3
Como escolher
e
(heurística prática para a prova): escolha
de modo que ao derivá-la ela fique “mais simples” (por exemplo polinômios diminuem grau), e escolha
como algo cuja primitiva
seja fácil de calcular. No nosso caso com polinômio vezes exponencial, a escolha típica é
polinômio e
exponencial, porque derivando o polinômio o grau cai e integrar a exponencial é trivial. Uma regra mnemônica comum (sem jargão) é: prefira transformar polinômios ao invés de exponenciais ou trigonométricas, já que polinômios simplificam rápido por diferenciação.
Passo 4
Aplicando ao exemplo: comece escrevendo a integral
Posso tirar a constante
para fora:
Agora vamos aplicar integração por partes à integral
.
Passo 5
Primeira aplicação da fórmula: escolho
Calculo
e
:
Agora uso a fórmula
:
Escrevendo de forma clara:
Observe que reduzimos o grau do polinômio de
para
— bom sinal, porque a integral ficou mais simples.
Passo 6
Segunda aplicação da fórmula para
: escolho agora
então
Aplicando a fórmula:
Voltando à expressão do Passo 5:
Passo 7
Simplificando a expressão: distribuo o
e fatoro
porque aparece em todos os termos:
Agora volto à constante que eu havia tirado no Passo 4: multiplico por
:
onde
é a constante de integração.
Passo 8
Recapitulando as dicas práticas para a prova, usando este exemplo como referência: (1) tire constantes fora; (2) escolha
que ao derivar fica mais simples (polinômio é uma ótima escolha) e
cuja primitiva é simples (aqui
); (3) se sobrar outro produto semelhante, aplique por partes novamente até resolver; (4) ao final, sempre some a constante de integração
. Você pode usar a mesma ideia para produtos polinômio·trigonométrico ou polinômio·exponencial; geralmente depois de algumas aplicações por partes o polinômio some.