Questão 5: Seja R a região do plano que está abaixo do gráfico de
, acima do eixo
e à direita de
. Sendo S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo
, calcule a área de R e o volume de S .
Passo 1
O enunciado dá a função
. A região
é descrita como:
isto é, a parte do plano que está abaixo do gráfico de
, acima do eixo
e à direita de
. O sólido
é obtido ao girar
em torno do eixo
. As perguntas são:
- Calcular a área da região
. - Calcular o volume do sólido
.
Passo 2
Como
se estende para a direita até o infinito (
), a área de
é dada por uma integral imprópria sobre o intervalo
. Montamos a integral da área como a soma das alturas
ao longo de
:
Explico rapidinho o que significa: uma integral imprópria com intervalo infinito é calculada como limite
Agora, calculamos a primitiva de
. Uma primitiva de
é
, então uma primitiva de
é
. Portanto,
Como
, isso fica
. Tomando o limite quando
,
pois
quando
. Conclusão: a integral diverge e a área de
é infinita. Intuição amigável: a cauda da curva
decai devagar o suficiente (como
) para que a área acumulada até o infinito seja infinita.
Passo 3
Para o volume
do sólido
gerado pela rotação de
em torno do eixo
, usamos o método dos discos (ou “fatias”): em um ponto
cada fatia de espessura
gera um disco de raio
e área
. Assim,
Isso também é uma integral imprópria, então escrevemos como limite:
Agora calculamos a integral. A primitiva de
é
(pois
). Então
Multiplicando por
e tomando o limite
, onde
, obtemos
Observação didática: aqui a integral converge porque estamos integrando algo como
, cujo expoente
faz com que a área acumulada até o infinito seja finita — ao contrário do caso
.
Passo 4
Resumo e interpretação final (pra te animar): a região
tem área infinita porque a cauda de
decai como
, gerando uma integral divergente; contudo, ao girar essa região em torno do eixo
o volume do sólido
é finito e igual a
. Esse tipo de fenômeno (área infinita, volume finito) é clássico e aparece no famoso “corneta de Gabriel” — nada de pânico, é só uma propriedade curiosa das integrais impróprias.
Passo 5
Se quiser um valor aproximado para ter uma noção numérica:
Resposta
Área de
:
Volume de :
Volume de