Questão 5: Seja R a região do plano que está abaixo do gráfico de f(x)=2 / x, acima do eixo x e à direita de x=e. Sendo S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x, calcule a área de R e o volume de S .

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{2}{x}. A região R é descrita como:
R=\{(x,y)\mid x\ge e,\; 0\le y\le \tfrac{2}{x}\},
isto é, a parte do plano que está abaixo do gráfico de \tfrac{2}{x}, acima do eixo x e à direita de x=e. O sólido S é obtido ao girar R em torno do eixo x. As perguntas são:
  • Calcular a área da região R.
  • Calcular o volume do sólido S.

Passo 2

Como R se estende para a direita até o infinito ( x\to\infty), a área de R é dada por uma integral imprópria sobre o intervalo [e,\infty). Montamos a integral da área como a soma das alturas y=f(x)=\dfrac{2}{x} ao longo de x:
\text{Área}(R)=\int_{e}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx.Á
Explico rapidinho o que significa: uma integral imprópria com intervalo infinito é calculada como limite
\int_{e}^{\infty}\frac{2}{x}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{e}^{b}\frac{2}{x}\,dx.
Agora, calculamos a primitiva de \dfrac{2}{x}. Uma primitiva de \dfrac{1}{x} é \ln x, então uma primitiva de \dfrac{2}{x} é 2\ln x. Portanto,
\int_{e}^{b}\frac{2}{x}\,dx=\bigl[2\ln x\bigr]_{e}^{b}=2\ln b-2\ln e.
Como \ln e=1, isso fica 2\ln b-2. Tomando o limite quando b\to\infty,
\lim_{b\to\infty}(2\ln b-2)=\infty,
pois \ln b\to\infty quando b\to\infty. Conclusão: a integral diverge e a área de R é infinita. Intuição amigável: a cauda da curva \tfrac{2}{x} decai devagar o suficiente (como 1/x) para que a área acumulada até o infinito seja infinita.

Passo 3

Para o volume V do sólido S gerado pela rotação de R em torno do eixo x, usamos o método dos discos (ou “fatias”): em um ponto x cada fatia de espessura dx gera um disco de raio f(x)=\dfrac{2}{x} e área \pi\bigl(f(x)\bigr)^2. Assim,
V=\int_{e}^{\infty}\pi\left(\frac{2}{x}\right)^2 dx.
Isso também é uma integral imprópria, então escrevemos como limite:
V=\lim_{b\to\infty}\pi\int_{e}^{b}\frac{4}{x^{2}}\,dx.
Agora calculamos a integral. A primitiva de x^{-2} é -x^{-1} (pois \dfrac{d}{dx}(-x^{-1})=x^{-2}). Então
\int_{e}^{b}\frac{4}{x^{2}}\,dx=4\bigl[-\tfrac{1}{x}\bigr]_{e}^{b}=4\Bigl(-\frac{1}{b}+\frac{1}{e}\Bigr).
Multiplicando por \pi e tomando o limite b\to\infty, onde \tfrac{1}{b}\to 0, obtemos
V=\pi\cdot 4\cdot\frac{1}{e}=\frac{4\pi}{e}.
Observação didática: aqui a integral converge porque estamos integrando algo como x^{-2}, cujo expoente 2>1 faz com que a área acumulada até o infinito seja finita — ao contrário do caso x^{-1}.

Passo 4

Resumo e interpretação final (pra te animar): a região R tem área infinita porque a cauda de \tfrac{2}{x} decai como 1/x, gerando uma integral divergente; contudo, ao girar essa região em torno do eixo x o volume do sólido S é finito e igual a \dfrac{4\pi}{e}. Esse tipo de fenômeno (área infinita, volume finito) é clássico e aparece no famoso “corneta de Gabriel” — nada de pânico, é só uma propriedade curiosa das integrais impróprias.

Passo 5

Se quiser um valor aproximado para ter uma noção numérica:
\frac{4\pi}{e}\approx 4,624\quad(\text{aprox.}).

Resposta

Área de R: \infty
Volume de S: \dfrac{4\pi}{e}

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