Questão 9

Explique por que utilizamos a distribuição t de Student em vez da distribuição normal quando a variância populacional é desconhecida. Como o tamanho da amostra influencia a escolha entre as distribuições?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para explicar por que a gente usa a distribuição t de Student ao invés da distribuição normal quando não sabemos a variância da população. Além disso, quer saber como o tamanho da amostra influencia essa escolha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, variância e como elas se relacionam quando fazemos estimativas a partir de amostras.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição normal. Ela é uma das distribuições mais conhecidas e usadas na estatística, caracterizada por sua forma de sino simétrica. A distribuição normal assume que conhecemos a variância da população ( sigma^2), o que nos permite calcular probabilidades e realizar inferências com base nela.

Passo 3

Agora, quando a variância da população é desconhecida, a gente precisa estimar essa variância usando a variância da amostra ( s^2). Mas essa estimativa adiciona incerteza ao nosso cálculo. É aí que entra a distribuição t de Student, que leva em consideração essa incerteza extra associada à estimativa da variância.

Passo 4

A distribuição t de Student é semelhante à distribuição normal, mas tem caudas mais “gordinhas”. Isso significa que ela dá mais peso a valores extremos, o que reflete a maior incerteza quando a variância é desconhecida. Essencialmente, a distribuição t ajusta a nossa confiança nas estimativas quando temos menos informações sobre a população.

Passo 5

O tamanho da amostra ( n) também influencia na escolha entre as distribuições. Quanto maior for a amostra, mais precisa é a estimativa da variância da população a partir da amostra. Com amostras grandes, a distribuição t se aproxima bastante da distribuição normal, porque a incerteza sobre a variância diminui.

Passo 6

Por outro lado, com amostras pequenas, a discrepância entre as duas distribuições é maior. As caudas mais largas da distribuição t são mais evidentes, refletindo a maior incerteza e a necessidade de maior margem de segurança nas inferências estatísticas.

Resposta

Resumindo, usamos a distribuição t de Student quando a variância populacional é desconhecida porque ela considera a incerteza adicional da estimativa da variância a partir da amostra. Além disso, quanto menor o tamanho da amostra, maior a diferença entre as distribuições t e normal, tornando a t mais adequada. Já com amostras grandes, a distribuição t se comporta quase igual à normal, já que a estimativa da variância se torna mais precisa.

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