Questão 9
Explique por que utilizamos a distribuição
de Student em vez da distribuição normal quando a variância populacional é desconhecida. Como o tamanho da amostra influencia a escolha entre as distribuições?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está pedindo para explicar por que a gente usa a distribuição
de Student ao invés da distribuição normal quando não sabemos a variância da população. Além disso, quer saber como o tamanho da amostra influencia essa escolha. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, variância e como elas se relacionam quando fazemos estimativas a partir de amostras.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição normal. Ela é uma das distribuições mais conhecidas e usadas na estatística, caracterizada por sua forma de sino simétrica. A distribuição normal assume que conhecemos a variância da população (
), o que nos permite calcular probabilidades e realizar inferências com base nela.
Passo 3
Agora, quando a variância da população é desconhecida, a gente precisa estimar essa variância usando a variância da amostra (
). Mas essa estimativa adiciona incerteza ao nosso cálculo. É aí que entra a distribuição
de Student, que leva em consideração essa incerteza extra associada à estimativa da variância.
Passo 4
A distribuição
de Student é semelhante à distribuição normal, mas tem caudas mais “gordinhas”. Isso significa que ela dá mais peso a valores extremos, o que reflete a maior incerteza quando a variância é desconhecida. Essencialmente, a distribuição
ajusta a nossa confiança nas estimativas quando temos menos informações sobre a população.
Passo 5
O tamanho da amostra (
) também influencia na escolha entre as distribuições. Quanto maior for a amostra, mais precisa é a estimativa da variância da população a partir da amostra. Com amostras grandes, a distribuição
se aproxima bastante da distribuição normal, porque a incerteza sobre a variância diminui.
Passo 6
Por outro lado, com amostras pequenas, a discrepância entre as duas distribuições é maior. As caudas mais largas da distribuição
são mais evidentes, refletindo a maior incerteza e a necessidade de maior margem de segurança nas inferências estatísticas.
Resposta
Resumindo, usamos a distribuição
de Student quando a variância populacional é desconhecida porque ela considera a incerteza adicional da estimativa da variância a partir da amostra. Além disso, quanto menor o tamanho da amostra, maior a diferença entre as distribuições
e normal, tornando a
mais adequada. Já com amostras grandes, a distribuição
se comporta quase igual à normal, já que a estimativa da variância se torna mais precisa.