Duas partículas de mesma carga são colocadas a 3,2 \times 10^{-3} \mathrm{~m} de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso. A aceleração inicial da primeira partícula é 7,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e a da segunda é 9,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Se a massa da primeira partícula é 6,3 \times 10^{-7} \mathrm{~kg}, determine (a) a massa da segunda partícula; (b) o módulo da carga das partículas.

Passo 1

O enunciado dá duas partículas com a mesma carga, separadas por 3{,}2\times10^{-3}\,\mathrm{m}, liberadas do repouso, com acelerações iniciais diferentes. Perguntas pedidas:
  • (a) Determinar a massa da segunda partícula.
  • (b) Determinar o módulo da carga das partículas.
Informações relevantes fornecidas:
r = 3{,}2\times10^{-3}\,\mathrm{m}
a_1 = 7{,}0\,\mathrm{m/s^2}
a_2 = 9{,}0\,\mathrm{m/s^2}
m_1 = 6{,}3\times10^{-7}\,\mathrm{kg}
As duas partículas têm a mesma carga (mesmo módulo) e se repelirão por força eletrostática.

Passo 2

Entendimento físico básico (sem pular etapas): quando duas cargas iguais se repelem, cada partícula sente uma força eletrostática de mesma magnitude, pela própria natureza da interação (lei de Coulomb e princípio ação-reação). Portanto a força sobre a partícula 1 e sobre a partícula 2 têm a mesma magnitude F. Porém, como as massas são diferentes, as acelerações serão diferentes segundo a segunda lei de Newton. Anotando:
F = m_1 a_1 \quad\text{e}\quad F = m_2 a_2.

Passo 3

Usar a igualdade das forças para encontrar m_2. Como m_1 a_1 = m_2 a_2, isolamos m_2:
m_2 = m_1\cdot\frac{a_1}{a_2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • m_1: massa da primeira partícula (dada).
  • a_1: aceleração da primeira (dada).
  • m_2: massa que queremos achar.
  • a_2: aceleração da segunda (dada).

Passo 4

Cálculo numérico de m_2. Substituindo os valores dados:
m_2 = 6{,}3\times10^{-7}\cdot\frac{7{,}0}{9{,}0}.
Efetuando a multiplicação e divisão:
6{,}3\times\frac{7{,}0}{9{,}0}=6{,}3\times0{,}777\ldots=4{,}9
portanto
m_2 = 4{,}9\times10^{-7}\,\mathrm{kg}.

Passo 5

Agora vamos achar o módulo da carga q. A lei de Coulomb para o módulo da força entre duas cargas iguais q separadas por r é
F = k\frac{q^2}{r^2},
onde k é a constante eletrostática no vácuo. Aqui:
k = 8{,}99\times10^{9}\,\mathrm{N\cdot m^2/C^2}.
Como já determinamos que F = m_1 a_1, podemos usar essa força conhecida para encontrar q. Isolando q:
q = r\sqrt{\frac{F}{k}}.
(ou equivalentemente q = \sqrt{\dfrac{F r^2}{k}}). Explico: pegamos a expressão de Coulomb e resolvemos para q; F é a força medida (aqui obtida por m_1a_1), r é a distância dada e k é a constante conhecida.

Passo 6

Calcular numericamente F, r^2 e depois q.
Primeiro a força:
F = m_1 a_1 = 6{,}3\times10^{-7}\cdot7{,}0 = 4{,}41\times10^{-6}\,\mathrm{N}.
Em seguida r^2:
r^2 = \bigl(3{,}2\times10^{-3}\bigr)^2 = 1{,}024\times10^{-5}\,\mathrm{m^2}.
Agora usamos
q^2 = \frac{F r^2}{k} = \frac{4{,}41\times10^{-6}\cdot1{,}024\times10^{-5}}{8{,}99\times10^{9}}.
Multiplicando numeradores:
4{,}41\cdot1{,}024 = 4{,}51584,
e combinando as potências de 10:
\text{numerador} = 4{,}51584\times10^{-11}.
Dividindo pelo denominador:
q^2 \approx \frac{4{,}51584\times10^{-11}}{8{,}99\times10^{9}} \approx 5{,}029\times10^{-21}.
Finalmente
q = \sqrt{5{,}029\times10^{-21}}\approx 7{,}1\times10^{-11}\,\mathrm{C}.

Passo 7

Breve verificação de ordem de grandeza (para ficar seguro): cargas da ordem de 10^{-11}\,\mathrm{C} e massas da ordem de 10^{-7}\,\mathrm{kg} combinam com forças muito pequenas ( 10^{-6}\,\mathrm{N}) que geram acelerações de \sim 10\,\mathrm{m/s^2}, então os resultados fazem sentido fisicamente.

Resposta

m_2 = 4{,}9\times10^{-7}\,\mathrm{kg}
|q| = 7{,}1\times10^{-11}\,\mathrm{C}

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