Questão 1. (1,5) Seja g a função dada por:
g(x)=\int_{x}^{x^{2}} \tan \left(t^{2}\right) d t
Calcule g^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
g(x)=\int_{x}^{x^{2}}\tan\bigl(t^{2}\bigr)\,dt
e pede g'(x).
Este problema envolve duas ideias principais:
  1. O Teorema Fundamental do Cálculo, que diz que a derivada de uma integral em que o limite superior é uma função de x traz a função integranda avaliada nesse limite.
  2. A Regra de Leibniz para integrais com limites que dependem de x, que combina o Teorema Fundamental com o chain rule.

Passo 2

Se tivermos
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt,
então, pela Regra de Leibniz,
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Aqui a(x) e b(x)$ são os limites de integração, e \(f(t) é a função dentro da integral.)

Passo 3

No nosso caso:
  • f(t)=\tan\bigl(t^{2}\bigr),
  • a(x)=x, logo a'(x)=1,
  • b(x)=x^{2}, logo b'(x)=2x.
Aplicando a fórmula:
g'(x) =\tan\bigl((x^{2})^{2}\bigr)\cdot(2x) \;-\;\tan\bigl(x^{2}\bigr)\cdot(1).
Como (x^{2})^{2}=x^{4}, fica
g'(x)=2x\,\tan\bigl(x^{4}\bigr)\;-\;\tan\bigl(x^{2}\bigr).

Resposta

g'(x)=2x\,\tan\bigl(x^{4}\bigr)-\tan\bigl(x^{2}\bigr).

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