Questão 4: Expresse a integral
como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde
é o sólido limitado pelas superfícies:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como integrais iteradas em todas as seis ordens possíveis.
O sólido é dado por
O sólido
e implicitamente
.
Logo, a projeção de no plano
é
Logo, a projeção de
e para cada
nessa região temos
.
Passo 2
Para as integrais que começam com (ou seja,
é a variável interna), usamos sempre
Dois modos:
Modo A (): a projeção em
dá
e
.
Modo B (): fixamos
primeiro,
, e então
satisfaz
.
Passo 3
Para as integrais que começam com , a desigualdade
implica
. Dois modos:
Modo C (): primeiro
, depois para cada
,
varia de
a
, e em seguida
Modo D (): primeiro
, depois
(pois
) e então
Passo 4
Para as integrais que começam com , a condição
dá
. Dois modos:
Modo E (): primeiro
, depois para cada
,
e então
Modo F (): primeiro
, depois
(pois
), e enfim
Resposta
Os seis modos de escrever
são: