Questão 4: Expresse a integral integral triplaE f(x, y, z) d V como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde E é o sólido limitado pelas superfícies: z=0, z=y e x^2=1-y.

Passo 1

O enunciado pede para escrever
integral triplaEf(x,y,z),dV
como integrais iteradas em todas as seis ordens possíveis.
O sólido E é dado por
0<= z<= y, x^2=1-yiff y=1-x^2,
e implicitamente y>=0.
Logo, a projeção de E no plano xy é
(x,y)mid -1<= x<=1,;0<= y<= 1-x^2,
e para cada (x,y) nessa região temos 0<= z<= y.

Passo 2

Para as integrais que começam com (ou seja, é a variável interna), usamos sempre
Dois modos:
Modo A (): a projeção em e .
Modo B (): fixamos primeiro, , e então satisfaz .

Passo 3

Para as integrais que começam com , a desigualdade implica . Dois modos:
Modo C (): primeiro , depois para cada , varia de a , e em seguida
Modo D (): primeiro , depois (pois ) e então

Passo 4

Para as integrais que começam com , a condição . Dois modos:
Modo E (): primeiro , depois para cada , e então
Modo F (): primeiro , depois (pois ), e enfim

Resposta

Os seis modos de escrever integral triplaEf(x,y,z),dV são:
integralx=-1^1 integraly=0^1-x^2 integralz=0^y f(x,y,z),dz,dy,dx,
integraly=0^1 integralx=-raiz1-y^raiz1-y integralz=0^y f(x,y,z),dz,dx,dy,
integralx=-1^1 integralz=0^1-x^2 integraly=z^1-x^2 f(x,y,z),dy,dz,dx,
integralz=0^1 integralx=-raiz1-z^raiz1-z integraly=z^1-x^2 f(x,y,z),dy,dx,dz,
integraly=0^1 integralz=0^y integralx=-raiz1-y^raiz1-y f(x,y,z),dx,dz,dy,
integralz=0^1 integraly=z^1 integralx=-raiz1-y^raiz1-y f(x,y,z),dx,dy,dz

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