Assumindo que y=sumn=0^+infty cn x^n seja uma solução da equação diferencial dada, encontre a relação de recorrência entre cn e (se for possível) a forma geral de y.
(4-x^2) y^prime prime+2 y=0.

Passo 1

O enunciado pede uma solução em série de potências para a EDO
(4 - x^2),y'' + 2,y = 0
assumindo
y = sumn=0^infty cn x^n
O conteúdo é o método de séries de potências: vamos calcular y'', substituir na EDO, igualar coeficientes em cada x^n e obter uma relação de recorrência entre os cn.

Passo 2

Primeiro escrevemos y e y'' em série:
y = sumn=0^infty cn x^n,
y'' = sumn=2^infty n(n-1),cn,x^n-2 = summ=0^infty (m+2)(m+1),cm+2,x^m,
onde no segundo somatório fizemos m = n-2.

Passo 3

Substituindo em (4 - x^2)y'' + 2y = 0 obtemos
(4 - x^2),y'' = 4summ=0^infty(m+2)(m+1)cm+2x^m ;-;sumk=2^inftyk(k-1)ckx^k,
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(4 - x^2)y'' + 2y =4summ=0^infty(m+2)(m+1)cm+2x^m -sumk=2^inftyk(k-1)ckx^k +2sumn=0^inftycnx^n =0

Passo 4

Como k(k-1)=0 em k=0,1, podemos reescrever todos os somatórios com índice n>=0:
sumn=0^inftyl[4(n+2)(n+1)cn+2-n(n-1)cn+2cnr]x^n=0
Para anular cada coeficiente em x^n precisamos de
4(n+2)(n+1)cn+2+l[2 - n(n-1)r]cn=0

Passo 5

Isolando cn+2 vem
cn+2 =n(n-1)-24(n+2)(n+1),cn =n^2-n-24(n+2)(n+1),cn =(n-2)(n+1)4(n+2)(n+1),cn =n-24(n+2),cn

Passo 6

Temos, portanto, a relação de recorrência
boxedcn+2=n-24(n+2),cn, n>=0,
e as duas constantes arbitrárias c0 e c1. Daí a solução geral em série fica
y(x) =c0l[1+summ=1^infty2m-24,(2m),c2m-2,x^2mr] +c1l[x+summ=1^infty2m-1-24,(2m+1),c2m-1,x^2m+1r],
ou, de forma mais limpa, uma combinação de séries pares (iniciando em c0) e ímpares (iniciando em c1).

Resposta

boxedcn+2=n-24(n+2),cn, y(x)=c0,ypar(x)+c1,yímpar(x) í

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