Assumindo que
seja uma solução da equação diferencial dada, encontre a relação de recorrência entre
e (se for possível) a forma geral de
.
.
Passo 1
O enunciado pede uma solução em série de potências para a EDO
assumindo
O conteúdo é o método de séries de potências: vamos calcular
, substituir na EDO, igualar coeficientes em cada
e obter uma relação de recorrência entre os
.
Passo 2
Primeiro escrevemos
e
em série:
onde no segundo somatório fizemos
.
Passo 3
Substituindo em
obtemos
logo
Passo 4
Como
em
, podemos reescrever todos os somatórios com índice
:
Para anular cada coeficiente em
precisamos de
Passo 5
Isolando
vem
Passo 6
Temos, portanto, a relação de recorrência
e as duas constantes arbitrárias
e
. Daí a solução geral em série fica
ou, de forma mais limpa, uma combinação de séries pares (iniciando em
) e ímpares (iniciando em
).