Verifique que u(x, y, z)=e^{3 x+4 y} senz satisfaz a equação de Laplace
\frac{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}+\frac{\delta^{2} f}{\delta y^{2}}+\frac{\delta^{2} f}{\delta z^{2}}=0

Passo 1

O enunciado dá a função \,u(x,y,z)=e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\, e pede para verificar se ela satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0.
Vou checar isso calculando as segundas derivadas parciais em relação a x, y e z e somando-as. A pergunta concreta é: a soma dessas segundas derivadas é igual a zero para todos os pontos (x,y,z)?

Passo 2

Observação sobre diferenciação (relembrando devagar e com carinho):
  • A função e^{3x+4y} depende apenas de x e y; \operatorname{sen} z depende apenas de z. Assim, ao derivar em relação a x ou y a parte \operatorname{sen} z é tratada como constante, e ao derivar em relação a z a parte e^{3x+4y} é constante.
  • Regra prática para exponencial: \dfrac{d}{dx}e^{ax+ b} = a e^{ax+b}.
  • Derivadas da função seno: \dfrac{d}{dz}\operatorname{sen} z = \cos z e \dfrac{d^{2}}{dz^{2}}\operatorname{sen} z = -\operatorname{sen} z.
Com isso, faço as derivadas parciais.

Passo 3

Derivadas em relação a x.
Primeira derivada:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\big) = \bigg(\frac{\partial}{\partial x}e^{3x+4y}\bigg)\operatorname{sen} z = 3e^{3x+4y}\operatorname{sen} z.
Segunda derivada:
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\big(3e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\big) = 3\bigg(\frac{\partial}{\partial x}e^{3x+4y}\bigg)\operatorname{sen} z = 3\cdot 3 e^{3x+4y}\operatorname{sen} z = 9e^{3x+4y}\operatorname{sen} z.

Passo 4

Derivadas em relação a y.
Primeira derivada:
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\big) = \bigg(\frac{\partial}{\partial y}e^{3x+4y}\bigg)\operatorname{sen} z = 4e^{3x+4y}\operatorname{sen} z.
Segunda derivada:
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = \frac{\partial}{\partial y}\big(4e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\big) = 4\bigg(\frac{\partial}{\partial y}e^{3x+4y}\bigg)\operatorname{sen} z = 4\cdot 4 e^{3x+4y}\operatorname{sen} z = 16e^{3x+4y}\operatorname{sen} z.

Passo 5

Derivadas em relação a z.
Primeira derivada:
\frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}\big(e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\big) = e^{3x+4y}\cos z.
Segunda derivada:
\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = \frac{\partial}{\partial z}\big(e^{3x+4y}\cos z\big) = e^{3x+4y}\big(-\operatorname{sen} z\big) = -e^{3x+4y}\operatorname{sen} z.

Passo 6

Agora somo as três segundas derivadas (a Laplaciana \Delta u):
\begin{aligned} \Delta u &= \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}\\[4pt] &= 9e^{3x+4y}\operatorname{sen} z + 16e^{3x+4y}\operatorname{sen} z - e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\\[4pt] &= (9+16-1)\,e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\\[4pt] &= 24\,e^{3x+4y}\operatorname{sen} z. \end{aligned}
Como 24\,e^{3x+4y}\operatorname{sen} z não é identicamente zero (a menos de pontos onde \operatorname{sen} z=0), concluímos que \Delta u não é zero para todos os (x,y,z). Portanto u não é solução da equação de Laplace em todo o espaço. (Obs.: ela só tem Laplaciana zero nos planos onde \operatorname{sen} z=0, isto é, z=k\pi, k\in\mathbb{Z}.)]

Resposta

Não. \displaystyle \Delta u=24\,e^{3x+4y}\operatorname{sen} z\neq 0 (exceto quando \operatorname{sen} z=0).

Exercícios relacionados