Verifique que
senz satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para verificar se ela satisfaz a equação de Laplace
Vou checar isso calculando as segundas derivadas parciais em relação a
,
e
e somando-as. A pergunta concreta é: a soma dessas segundas derivadas é igual a zero para todos os pontos
?
Passo 2
Observação sobre diferenciação (relembrando devagar e com carinho):
- A função
depende apenas de e ; depende apenas de . Assim, ao derivar em relação a ou a parte é tratada como constante, e ao derivar em relação a a parte é constante. - Regra prática para exponencial:
. - Derivadas da função seno:
e .
Com isso, faço as derivadas parciais.
Passo 3
Derivadas em relação a
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
Derivadas em relação a
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 5
Derivadas em relação a
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 6
Agora somo as três segundas derivadas (a Laplaciana
):
Como
não é identicamente zero (a menos de pontos onde
), concluímos que
não é zero para todos os
. Portanto
não é solução da equação de Laplace em todo o espaço. (Obs.: ela só tem Laplaciana zero nos planos onde
, isto é,
,
.)]
Resposta
Não.
(exceto quando
).