Verifique que
satisfaz a equação de Laplace
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
satisfaz a equação de Laplace
Informações dadas:
- A função é
. - Precisa-se calcular as segundas derivadas parciais
, e e somá‑las.
A resolução começa no passo seguinte calculando essas derivadas.
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar).
- O operador laplaciano é
. Queremos calcular para a função dada. - Regras de derivação úteis:
- Se
então e porque . - Produto de funções:
se não depende de . - Derivada de
em relação a é ; segunda derivada é .
Vou aplicar essas regras passo a passo.
- Se
Passo 3
Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a
.
A função pode ser vista como . Ao derivar em
,
é constante.
A função pode ser vista como
Derivando novamente em
,
Passo 4
Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a
.
Semelhante ao caso , agora a derivada de
em
traz fator
.
Semelhante ao caso
Passo 5
Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a
.
Agora é constante ao derivar em
.
Agora
Passo 6
Somar as segundas derivadas para obter o laplaciano.
Fatorando
,
Portanto
não é zero em geral (é zero somente nos pontos onde
). Uma observação útil: para funções do tipo
o laplaciano dá
; aqui
,
,
e
. Se quisesse que
fosse harmônica (ou seja,
para todo ponto), seria necessário
; por exemplo, com
(pois
) a função seria harmônica.