Verifique que u(x, y, z)=e^{3 x+4 y} \operatorname{sen} z satisfaz a equação de Laplace
\frac{\delta^{2} f}{\delta x^{2}}+\frac{\delta^{2} f}{\delta y^{2}}+\frac{\delta^{2} f}{\delta z^{2}}=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função u(x,y,z)=e^{3x+4y}\sin z satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}=0.
Informações dadas:
  • A função é u(x,y,z)=e^{3x+4y}\sin z.
  • Precisa-se calcular as segundas derivadas parciais \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, \dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} e \dfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} e somá‑las.
    A resolução começa no passo seguinte calculando essas derivadas.

Passo 2

Lembrete rápido (fórmulas e ideias que vou usar).
  • O operador laplaciano é \Delta u=\dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\dfrac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}. Queremos calcular \Delta u para a função dada.
  • Regras de derivação úteis:
    • Se v(x,y)=e^{3x+4y} então \dfrac{\partial v}{\partial x}=3e^{3x+4y} e \dfrac{\partial v}{\partial y}=4e^{3x+4y} porque \dfrac{d}{dx}e^{ax}=a e^{ax}.
    • Produto de funções: \dfrac{\partial}{\partial x}(A(x,y)\,B(z)) = (\partial_x A)\,B se B não depende de x.
    • Derivada de \sin z em relação a z é \cos z; segunda derivada é -\sin z.
      Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a x.
A função pode ser vista como u(x,y,z)=\bigl(e^{3x+4y}\bigr)\cdot\sin z. Ao derivar em x, \sin z é constante.
\frac{\partial u}{\partial x}=3e^{3x+4y}\sin z.
Derivando novamente em x,
\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=3\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3x+4y}\sin z\bigr) =3\bigl(3e^{3x+4y}\bigr)\sin z=9e^{3x+4y}\sin z.

Passo 4

Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a y.
Semelhante ao caso x, agora a derivada de e^{3x+4y} em y traz fator 4.
\frac{\partial u}{\partial y}=4e^{3x+4y}\sin z,
\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=4\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{3x+4y}\sin z\bigr) =4\bigl(4e^{3x+4y}\bigr)\sin z=16e^{3x+4y}\sin z.

Passo 5

Calcular a primeira e segunda derivada parcial em relação a z.
Agora e^{3x+4y} é constante ao derivar em z.
\frac{\partial u}{\partial z}=e^{3x+4y}\cos z,
\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=e^{3x+4y}\frac{d^{2}}{dz^{2}}\bigl(\sin z\bigr) =e^{3x+4y}(-\sin z)=-e^{3x+4y}\sin z.

Passo 6

Somar as segundas derivadas para obter o laplaciano.
\Delta u=\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} =9e^{3x+4y}\sin z+16e^{3x+4y}\sin z- e^{3x+4y}\sin z.
Fatorando e^{3x+4y}\sin z,
\Delta u=(9+16-1)\,e^{3x+4y}\sin z=24\,e^{3x+4y}\sin z.
Portanto \Delta u não é zero em geral (é zero somente nos pontos onde \sin z=0). Uma observação útil: para funções do tipo e^{ax+by}\sin(cz) o laplaciano dá (a^{2}+b^{2}-c^{2})e^{ax+by}\sin(cz); aqui a=3, b=4, c=1 e a^{2}+b^{2}-c^{2}=9+16-1=24. Se quisesse que u fosse harmônica (ou seja, \Delta u=0 para todo ponto), seria necessário c^{2}=a^{2}+b^{2}; por exemplo, com \sin 5z (pois 5^{2}=25=9+16) a função seria harmônica.

Resposta

\Delta u=24\,e^{3x+4y}\sin z. Portanto u não satisfaz a equação de Laplace (salvo nos pontos onde \sin z=0).

Exercícios relacionados