Uma onda senoidal transversal se propaga ao longo de um fio esticado no sentido positivo do eixo x, com velocidade de propagação de 60 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. No instante t=0, uma partícula localizada em x=0 encontra-se deslocada 5,0 \mathrm{~cm} acima da posição de equilibrio e está momentaneamente em repouso. Sabe-se que a velocidade transversal máxima da partícula em \mathrm{x}=0 é de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. (a) Qual é a frequência da onda? (b) Qual é o comprimento de onda? (c) Sabendo que a equação da onda é da forma \mathrm{y}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=\mathrm{A} \operatorname{sen}(\mathrm{kx} \pm \omega \mathrm{t}+\varphi) determine a amplitude A . (d) o número de onda k ; (e) a frequência angular \omega; (f) a fase inicial \varphi; (g) o sinal que precede \omega na equação da onda.

Passo 1

O enunciado descreve uma onda harmónica transversal viajando no sentido positivo de x com velocidade de propagação v=60\\ \mathrm{m/s}. No instante t=0 e em x=0 temos o deslocamento y(0,0)=5{,}0\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m} e a velocidade transversal momentaneamente nula. Além disso, a velocidade transversal máxima é v_{\max}=10\\ \mathrm{m/s}. A forma geral da onda é
y(x,t)=A\sin\bigl(kx\pm\omega t+\varphi\bigr)
e usam-se as relações
v_{\max}=A\,\omega, \qquad v=\frac{\omega}{k},
além das condições em x=0,t=0 para determinar A, k, \omega, \varphi, f, \lambda e o sinal \pm.

Passo 2

Aplicamos a condição de velocidade transversal em x=0,t=0:
\frac{\partial y}{\partial t}\bigg|_{x=0,t=0} =-A\,\omega\cos(\varphi)=0
Logo \cos(\varphi)=0, o que dá \varphi=\tfrac{\pi}{2} ou \varphi=\tfrac{3\pi}{2}. Como em t=0 o deslocamento é positivo, escolhemos
\varphi=\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Usamos o deslocamento em x=0,t=0:
y(0,0)=A\sin(\varphi)=A\sin\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=A=0{,}05\\ \mathrm{m}.
Portanto
A=0{,}05\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Da relação da velocidade máxima transversal,
v_{\max}=A\,\omega\quad\Longrightarrow\quad \omega=\frac{v_{\max}}{A}=\frac{10}{0{,}05}=200\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

A frequência é
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{200}{2\pi}=\frac{100}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx31{,}83\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

O comprimento de onda vem de \lambda=v/f:
\lambda=\frac{60}{100/\pi}=0{,}6\,\pi\\ \mathrm{m}\approx1{,}885\\ \mathrm{m}.

Passo 7

O número de onda é
k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}6\pi}=\frac{10}{3}\\ \mathrm{m^{-1}}\approx3{,}33\\ \mathrm{m^{-1}}.

Passo 8

Como a onda propaga-se no sentido positivo de x, o argumento deve ser kx-\omega t+\varphi.

Resposta

(a) f=\displaystyle\frac{100}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx31{,}83\\ \mathrm{Hz}.
(b) \lambda=0{,}6\pi\\ \mathrm{m}\approx1{,}885\\ \mathrm{m}.
(c) A=0{,}05\\ \mathrm{m}.
(d) k=\displaystyle\frac{10}{3}\\ \mathrm{m^{-1}}\approx3{,}33\\ \mathrm{m^{-1}}.
(e) \omega=200\\ \mathrm{rad/s}.
(f) \varphi=\displaystyle\frac{\pi}{2}.
(g) Sinal “ -”.

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