Questão 7

A extremidade de um longo bastão de vidro é polida de tal forma que assume a forma de uma superfície hemisférica côncava. O índice de refração desse vidro é 1,6 . Quando um pequeno objeto no formato de uma seta é colocado ortogonalmente ao eixo do bastão a uma distância de 30 cm a frente do vértice da superfície côncava, uma imagem virtual é formada fora do vidro a uma distância de 12 c m do vértice da superfície esférica. Onde seria formada a imagem se o vidro fosse colocado imerso na água (índice de refração 1,33 ), mas todos os outros valores se mantivessem inalterados?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Índice do vidro: n_{\rm vid}=1{,}6.
    • Inicialmente o meio externo é o ar, com n_{\rm ar}=1{,}0.
    • O objeto (seta) está colocado ao longo do eixo, a 30\\ \text{cm} em frente ao vértice da superfície esférica (ou seja, a 30\\ \text{cm} do vértice, no lado do objeto).
    • Com o vidro no ar forma-se uma imagem virtual fora do vidro, a 12\\ \text{cm} do vértice da superfície esférica (essa imagem está no mesmo lado do objeto, portanto é virtual no meio externo).
  • O que se pede:
    • Repetir o cálculo colocando o vidro imerso na água ( n_{\rm água}=1{,}33á), mantendo todos os outros valores (mesma geometria, mesmo objeto à 30\\ \text{cm} do vértice), e determinar onde a imagem será formada (distância ao vértice e se é real/virtual e em que lado).

Passo 2

Apresento a fórmula que descreve a refração em uma superfície esférica e explico as convenções de sinais que vou usar (é importante entender isso para aplicar corretamente).
Fórmula da refração numa superfície esférica (convencional):
\frac{n_2}{s'}-\frac{n_1}{s}=\frac{n_2-n_1}{R},
onde:
  • n_1 é o índice do meio onde está o objeto (meio incidente),
  • n_2 é o índice do meio do outro lado da superfície (meio transmitido),
  • s é a distância do objeto ao vértice da superfície (medida positiva para o lado do objeto, ou seja, positiva se o objeto está no lado de onde vêm os raios),
  • s' é a distância da imagem ao vértice (medida positiva se a imagem está no lado do meio transmitido, isto é, do outro lado da superfície; se a imagem estiver no mesmo lado do objeto, s' será negativo — isso corresponde a uma imagem virtual no lado de entrada),
  • R é o raio de curvatura da superfície (positivo se o centro de curvatura está no lado transmitido, negativo se o centro está no lado incidente).
Vou aplicar esta fórmula ao caso inicial (ar \to vidro) para determinar R a partir dos dados fornecidos, e depois usar R quando o meio externo for água.

Passo 3

Usando os dados do caso inicial (meio externo ar): identifico as quantidades a colocar na fórmula.
  • n_1=n_{\rm ar}=1{,}0.
  • n_2=n_{\rm vid}=1{,}6.
  • O objeto está a 30\\ \text{cm} do vértice, no lado do incidente, portanto s=30\\ \text{cm} (positivo, pela convenção).
  • A imagem dada é virtual e está fora do vidro, no lado do objeto, a 12\\ \text{cm} do vértice; nessa convenção isso significa s'=-12\\ \text{cm} (negativo porque está no mesmo lado do objeto).
  • Substituo na fórmula para achar R:
\frac{1{,}6}{-12}-\frac{1{,}0}{30}=\frac{1{,}6-1{,}0}{R}.
Calculo os termos à esquerda passo a passo:
\frac{1{,}6}{-12}=-0{,}13333\ldots \qquad\text{e}\qquad \frac{1{,}0}{30}=0{,}03333\ldots
Portanto:
-0{,}13333\ldots - 0{,}03333\ldots = -0{,}166666\ldots
E o numerador do lado direito é 1{,}6-1{,}0=0{,}6. Assim
\frac{0{,}6}{R}=-0{,}166666\ldots
Logo
R=\frac{0{,}6}{-0{,}166666\ldots}=-3{,}6\\ \text{cm}.
Interpretação rápida: R=-3{,}6\\ \text{cm} indica que o centro de curvatura está no lado do objeto (sinal negativo segundo a convenção adotada).

Passo 4

Agora trocamos o meio externo pelo meio água e recalculamos a posição da imagem mantendo R e s iguais.
  • Novo n_1=n_{\rm água}=1{,}33á.
  • n_2=n_{\rm vid}=1{,}6 (o vidro não mudou).
  • s permanece 30\\ \text{cm}.
  • R=-3{,}6\\ \text{cm} (determinado antes).
  • Queremos s'_{\text{novo}}.
Parto da mesma fórmula e isolo s'_{\text{novo}}:
\frac{n_2}{s'_{\text{novo}}}=\frac{n_2-n_1}{R}+\frac{n_1}{s}.
Substituindo números:
\frac{1{,}6}{s'_{\text{novo}}}=\frac{1{,}6-1{,}33}{-3{,}6}+\frac{1{,}33}{30}.
Calcule cada termo:
1{,}6-1{,}33=0{,}27, \qquad \frac{0{,}27}{-3{,}6}=-0{,}075,
\frac{1{,}33}{30}=0{,}044333\ldots
Somando:
-0{,}075+0{,}044333\ldots=-0{,}030666\ldots
Portanto
\frac{1{,}6}{s'_{\text{novo}}}=-0{,}030666\ldots
e
s'_{\text{novo}}=\frac{1{,}6}{-0{,}030666\ldots}\approx -52{,}245\\ \text{cm}.
Arredondando razoavelmente: s'_{\text{novo}}\approx -52{,}2\\ \text{cm}.

Passo 5

Interpretação física do resultado:
  • O sinal negativo de s'_{\text{novo}} significa que a imagem continua sendo virtual e formada no mesmo lado do objeto (fora do vidro), ou seja, no meio externo (agora água).
  • A distância absoluta é aproximadamente 52{,}2\\ \text{cm} do vértice: a imagem virtual ficou mais afastada do vértice quando o meio externo passou de ar para água (isso faz sentido qualitativo porque a diferença de índices diminuiu, resultando em menor desvio dos raios e, portanto, imagem mais distante).

Resposta

A imagem será virtual, fora do vidro, a 52{,}2\\ \text{cm} do vértice da superfície esférica (no mesmo lado do objeto).

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