Questão 7
A extremidade de um longo bastão de vidro é polida de tal forma que assume a forma de uma superfície hemisférica côncava. O índice de refração desse vidro é 1,6 . Quando um pequeno objeto no formato de uma seta é colocado ortogonalmente ao eixo do bastão a uma distância de 30 cm a frente do vértice da superfície côncava, uma imagem virtual é formada fora do vidro a uma distância de
do vértice da superfície esférica. Onde seria formada a imagem se o vidro fosse colocado imerso na água (índice de refração 1,33 ), mas todos os outros valores se mantivessem inalterados?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados fornecidos:
- Índice do vidro:
. - Inicialmente o meio externo é o ar, com
. - O objeto (seta) está colocado ao longo do eixo, a
em frente ao vértice da superfície esférica (ou seja, a do vértice, no lado do objeto). - Com o vidro no ar forma-se uma imagem virtual fora do vidro, a
do vértice da superfície esférica (essa imagem está no mesmo lado do objeto, portanto é virtual no meio externo).
- Índice do vidro:
- O que se pede:
- Repetir o cálculo colocando o vidro imerso na água (
), mantendo todos os outros valores (mesma geometria, mesmo objeto à do vértice), e determinar onde a imagem será formada (distância ao vértice e se é real/virtual e em que lado).
- Repetir o cálculo colocando o vidro imerso na água (
Passo 2
Apresento a fórmula que descreve a refração em uma superfície esférica e explico as convenções de sinais que vou usar (é importante entender isso para aplicar corretamente).
Fórmula da refração numa superfície esférica (convencional):
onde:
-
é o índice do meio onde está o objeto (meio incidente), -
é o índice do meio do outro lado da superfície (meio transmitido), -
é a distância do objeto ao vértice da superfície (medida positiva para o lado do objeto, ou seja, positiva se o objeto está no lado de onde vêm os raios), -
é a distância da imagem ao vértice (medida positiva se a imagem está no lado do meio transmitido, isto é, do outro lado da superfície; se a imagem estiver no mesmo lado do objeto, será negativo — isso corresponde a uma imagem virtual no lado de entrada), -
é o raio de curvatura da superfície (positivo se o centro de curvatura está no lado transmitido, negativo se o centro está no lado incidente).
Vou aplicar esta fórmula ao caso inicial (ar
vidro) para determinar
a partir dos dados fornecidos, e depois usar
quando o meio externo for água.
Passo 3
Usando os dados do caso inicial (meio externo ar): identifico as quantidades a colocar na fórmula.
-
. -
. - O objeto está a
do vértice, no lado do incidente, portanto (positivo, pela convenção). - A imagem dada é virtual e está fora do vidro, no lado do objeto, a
do vértice; nessa convenção isso significa (negativo porque está no mesmo lado do objeto). - Substituo na fórmula para achar
:
Calculo os termos à esquerda passo a passo:
Portanto:
E o numerador do lado direito é
. Assim
Logo
Interpretação rápida:
indica que o centro de curvatura está no lado do objeto (sinal negativo segundo a convenção adotada).
Passo 4
Agora trocamos o meio externo pelo meio água e recalculamos a posição da imagem mantendo
e
iguais.
- Novo
. -
(o vidro não mudou). -
permanece . -
(determinado antes). - Queremos
.
Parto da mesma fórmula e isolo
:
Substituindo números:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto
e
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 5
Interpretação física do resultado:
- O sinal negativo de
significa que a imagem continua sendo virtual e formada no mesmo lado do objeto (fora do vidro), ou seja, no meio externo (agora água). - A distância absoluta é aproximadamente
do vértice: a imagem virtual ficou mais afastada do vértice quando o meio externo passou de ar para água (isso faz sentido qualitativo porque a diferença de índices diminuiu, resultando em menor desvio dos raios e, portanto, imagem mais distante).
Resposta
A imagem será virtual, fora do vidro, a
do vértice da superfície esférica (no mesmo lado do objeto).