Questão 4

Uma superfície refratora esférica côncava com 0,6 m de raio separa um meio cujo índice de refração é 1,5 de outro cujo índice de refração é 2,0 . Um objeto é colocado no primeiro meio a 1,0 m da superfície. Determinar as distâncias focais do objeto e da imagem, a posição da imagem e o aumento da imagem.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede os itens abaixo.
Dados (pegos do enunciado):
  • índice do meio onde está o objeto: n_1=1,5.
  • índice do outro meio (lado transmitido): n_2=2,0.
  • raio da superfície esférica: R=0,6\\ \text{m} (a superfície é dita “côncava”).
  • posição do objeto: está no meio n_1 a uma distância 1,0\\ \text{m} da superfície (isto é, s=1,0\\ \text{m}).
O que o enunciado pede:
  • as distâncias focais do objeto e da imagem (focos relativos àquela superfície refratora);
  • a posição da imagem formada pela superfície;
  • o aumento (transversal) da imagem.

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que se usa para uma única superfície esférica refratora na aproximação paraxial e explicar o que cada símbolo significa e quais convenções de sinal vou usar.
Fórmula padrão da refração numa superfície esférica:
\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R}.
Significado das variáveis e convenções de sinal adotadas:
  • s é a distância do objeto ao vértice da superfície; s>0 se o objeto estiver no lado de incidência (lado de onde vem a luz). Aqui o objeto está no meio n_1, então tomamos s=+1,0\\ \text{m}.
  • s' é a distância (algebricamente) da imagem ao vértice; s'>0 se a imagem estiver no lado transmitido (lado do meio n_2), s'<0 se estiver no lado incidente (mesmo lado do objeto).
  • R é o raio de curvatura da superfície; R>0 se o centro de curvatura estiver no lado transmitido (lado n_2), R<0 se o centro de curvatura estiver no lado incidente (lado n_1).
  • n_1 e n_2 são os índices dos meios de incidência e transmissão, respectivamente.
Também usarei as fórmulas para as distâncias focais (objetiva e imagem) da superfície:
  • distância focal do objeto (foco do lado de incidência), f_{\text{o}}, obtida tomando s'\to\infty na equação:
f_{\text{o}}=\frac{n_1 R}{\,n_2-n_1\,}.
  • distância focal da imagem (foco no lado transmitido), f_{\text{i}}, obtida tomando s\to\infty:
f_{\text{i}}=\frac{n_2 R}{\,n_2-n_1\,}.
Por fim, a fórmula para o aumento transversal (lateral) para uma superfície refratora é
m=\frac{y'}{y}=\frac{n_1 s'}{n_2 s},
onde y é a altura do objeto e y' a da imagem. O sinal de m indica orientação (negativo = imagem invertida).

Passo 3

Determinar o sinal de R a partir da descrição “esférica côncava”.
A superfície é dita côncava em relação ao objeto: isso significa que o centro de curvatura está do mesmo lado do objeto (lado de incidência, o meio n_1). Pela convenção que adotei, isso torna R<0. Portanto:
R=-0,6\\ \text{m}.

Passo 4

Calcular as distâncias focais usando as fórmulas dadas.
Primeiro calcule a diferença de índices:
n_2-n_1=2,0-1,5=0,5.
Agora a distância focal do objeto:
f_{\text{o}}=\frac{n_1 R}{\,n_2-n_1\,} =\frac{1,5\cdot(-0,6)}{0,5} =1,5\cdot\frac{-0,6}{0,5} =1,5\cdot(-1,2) =-1,8\\ \text{m}.
E a distância focal da imagem:
f_{\text{i}}=\frac{n_2 R}{\,n_2-n_1\,} =\frac{2,0\cdot(-0,6)}{0,5} =2,0\cdot\frac{-0,6}{0,5} =2,0\cdot(-1,2) =-2,4\\ \text{m}.
Interpretação dos sinais: ambos os focos ficaram negativos segundo a convenção usada, o que significa que os respectivos focos estão no lado de incidência (lado do objeto). Em outras palavras, raios paralelos vindos do lado do objeto teriam seus pontos focais localizados no lado do objeto (sinal negativo indica isso na convenção adotada).

Passo 5

Calcular a posição da imagem resolvendo a equação de refração.
Usando
\frac{n_1}{s}+\frac{n_2}{s'}=\frac{n_2-n_1}{R},
substituímos os números:
\frac{1,5}{1,0}+\frac{2,0}{s'}=\frac{0,5}{-0,6}.
Calcule o lado direito:
\frac{0,5}{-0,6}=-\frac{5}{6}\approx-0,833333\ldots
Portanto
1,5+\frac{2,0}{s'}=-\frac{5}{6}.
Isolando \dfrac{2,0}{s'}:
\frac{2,0}{s'}=-\frac{5}{6}-1,5.
Escrevendo 1,5=\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{6}, temos
\frac{2,0}{s'}=-\frac{5}{6}-\frac{9}{6}=-\frac{14}{6}=-\frac{7}{3}.
Então
s'=\frac{2,0}{-\tfrac{7}{3}}=2,0\cdot\left(-\frac{3}{7}\right)=-\frac{6}{7}\\ \text{m}.
Numericamente:
s'=-\tfrac{6}{7}\\ \text{m}\approx-0,85714\\ \text{m}.
Interpretação: s'<0 significa que a imagem está no lado de incidência (mesmo lado do objeto), ou seja, é uma imagem virtual localizada a 0,85714\\ \text{m} do vértice da superfície, entre o objeto (que está a 1,0\\ \text{m}) e a superfície (a imagem está mais próxima da superfície que o objeto).

Passo 6

Calcular o aumento transversal m e interpretar.
Usando
m=\frac{n_1 s'}{n_2 s},
substituímos n_1=1,5, s'=-\tfrac{6}{7}, n_2=2,0, s=1,0:
m=\frac{1,5\cdot\left(-\tfrac{6}{7}\right)}{2,0\cdot 1,0} =\frac{-\tfrac{9}{7}}{2,0} =-\frac{9}{14}.
Numericamente:
m=-\frac{9}{14}\approx-0,642857\ldots
Interpretação do sinal e do valor:
  • o sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (segundo a convenção de orientações usada);
  • |m|=0,642857<1 significa que a imagem é reduzida (menor que o objeto).

Passo 7

Resumo físico rápido para fixar a intuição (apoiando o resultado): a superfície com índice maior do lado transmitido refrata os raios de modo que a imagem formada está no mesmo lado do objeto (virtual) e mais próxima da superfície; as distâncias focais negativas mostram que os focos ficam do lado do objeto na convenção adotada.

Resposta

f_{\text{o}}=-1,8\\ \text{m}
f_{\text{i}}=-2,4\\ \text{m}
s'=-\tfrac{6}{7}\\ \text{m}\approx-0,85714\\ \text{m}
m=-\tfrac{9}{14}\approx-0,642857

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