Questão 6
Uma superfície refratora esférica convexa com
de raio separa um meio cujo índice de refração é 1,5 de outro cujo índice de refração é 2,0 . Um objeto é colocado no primeiro meio a
da superfície. Determinar as distâncias focais do objeto e da imagem, a posição da imagem e o aumento da imagem.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem a seguir foi retirado do enunciado).
- Índices de refração:
- meio do objeto:
. - meio do lado da imagem:
.
- meio do objeto:
- Raio de curvatura da superfície esférica:
(valor do raio fornecido). - Distância do objeto à superfície (medida ao longo do eixo óptico, a partir do vértice da superfície):
. - O enunciado pede:
- As distâncias focais do objeto e da imagem (ou seja, as distâncias focais objeto-lado e imagem-lado, medidas a partir do vértice).
- A posição da imagem (distância
em relação ao vértice, com o sinal explicado depois). - O aumento (ou ampliação) lateral da imagem.
Passo 2
Definir claramente a convenção de sinais que vou usar (muito importante para interpretar os sinais das respostas).
- Convenção cartesiana para superfícies refratoras (padrão para este tipo de problema):
- O eixo positivo é da esquerda para a direita.
- A luz vai do meio
para o meio (isto é, percorre da esquerda para a direita). - Distância do objeto
é positiva quando o objeto está à esquerda do vértice (isto é, um objeto real à entrada da superfície): aqui . - Raio de curvatura
é positivo se o centro de curvatura está à direita do vértice; é negativo se o centro está à esquerda.
- Interpretação física do enunciado: a superfície é dita “convexa” e separa dois meios, com o objeto no primeiro meio à distância
. Se a superfície é convexa voltada para o objeto, o centro de curvatura fica no mesmo lado do objeto (isto é, à esquerda do vértice). Assim adotamos (Explicação curta: “convexa” para o lado do objeto significa que a curvatura ‘olha’ para o objeto e o centro está desse lado; com a convenção adotada isso torna negativo.)
Passo 3
Apresentar a fórmula fundamental para refração em superfície esférica e explicar o que cada termo significa.
- Fórmula para refração na aproximação parajática numa superfície esférica:
Onde: -
é o índice do meio onde está o objeto (entrante), -
é o índice do meio para onde a luz vai (saínte), -
é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto está à esquerda do vértice, como adotamos), -
é a distância da imagem ao vértice (com sinal; se a imagem está à direita do vértice, se está à esquerda), -
é o raio de curvatura (com sinal conforme explicado).
-
- Intuição rápida: essa equação é análoga à equação dos sistemas ópticos para superfícies esféricas. Ela relaciona as posições do objeto e da imagem levando em conta a mudança de índice e a curvatura.
Passo 4
Calcular a posição da imagem
aplicando a fórmula e mostrando as contas passo a passo.
- Começo substituindo os valores conhecidos na equação:
- Calcular os termos numéricos:
- A equação fica
- Isolando
: Colocando em denominador comum : - Logo
Invertendo para achar : - Em decimal isso é
Passo 5
Interpretação física da posição da imagem.
- O sinal negativo de
( ) indica que a imagem está localizada do mesmo lado do vértice que o objeto (ou seja, à esquerda do vértice), portanto trata-se de uma imagem virtual. - A distância geométrica entre o vértice e a imagem é
(aproximadamente ) medida para a esquerda do vértice.
Passo 6
Calcular as distâncias focais do objeto e da imagem (explicar como definimos esses focais para uma superfície refratora).
- Definição prática (para superfícies esféricas):
- A distância focal do lado da imagem (foco imagem)
é a posição da imagem produzida quando o objeto está no infinito em . Tomando na equação básica, obtemos - A distância focal do lado do objeto (foco objeto)
é a posição do objeto (medida a partir do vértice) que produz uma imagem no infinito em . Tomando , obtemos - Observação: os sinais de
e seguem a mesma convenção de sinais (se der negativo, o foco está à esquerda do vértice).
- A distância focal do lado da imagem (foco imagem)
- Agora substituo os valores (
, , , ):
- Interpretação: ambos os focos (objeto e imagem) são negativos, isto é, estão localizados à esquerda do vértice (no mesmo lado do objeto). O fato de serem negativos decorre da geometria e dos índices envolvidos.
Passo 7
Calcular o aumento (ampliação) lateral da imagem e interpretar o resultado.
- Fórmula para o aumento lateral na refração por uma superfície esférica (paraxial):
onde é a altura do objeto e a altura da imagem. Essa expressão aparece ao combinar semelhança de triângulos e a relação de ângulos de refração na aproximação parajática. - Substituindo os valores (
, , , ): - Interpretação do sinal e do módulo:
- O sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (no sentido de orientação vertical).
- O módulo
indica que a imagem é menor que o objeto (reduzida).
Passo 8
Resumo das respostas numéricas com interpretação curta (já calculadas nos passos anteriores).
- Posição da imagem:
(imagem virtual, à esquerda do vértice). - Distância focal do lado do objeto:
. - Distância focal do lado da imagem:
. - Aumento lateral:
(imagem invertida e reduzida).