Questão 6

Uma superfície refratora esférica convexa com 0,6 m de raio separa um meio cujo índice de refração é 1,5 de outro cujo índice de refração é 2,0 . Um objeto é colocado no primeiro meio a 1,0 m da superfície. Determinar as distâncias focais do objeto e da imagem, a posição da imagem e o aumento da imagem.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que vem a seguir foi retirado do enunciado).
  • Índices de refração:
    • meio do objeto: n_1 = 1{,}5.
    • meio do lado da imagem: n_2 = 2{,}0.
  • Raio de curvatura da superfície esférica: R = 0{,}6\\ \mathrm{m} (valor do raio fornecido).
  • Distância do objeto à superfície (medida ao longo do eixo óptico, a partir do vértice da superfície): s = 1{,}0\\ \mathrm{m}.
  • O enunciado pede:
    1. As distâncias focais do objeto e da imagem (ou seja, as distâncias focais objeto-lado e imagem-lado, medidas a partir do vértice).
    2. A posição da imagem (distância s' em relação ao vértice, com o sinal explicado depois).
    3. O aumento (ou ampliação) lateral da imagem.

Passo 2

Definir claramente a convenção de sinais que vou usar (muito importante para interpretar os sinais das respostas).
  • Convenção cartesiana para superfícies refratoras (padrão para este tipo de problema):
    • O eixo positivo é da esquerda para a direita.
    • A luz vai do meio n_1 para o meio n_2 (isto é, percorre da esquerda para a direita).
    • Distância do objeto s é positiva quando o objeto está à esquerda do vértice (isto é, um objeto real à entrada da superfície): aqui s = +1{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Raio de curvatura R é positivo se o centro de curvatura está à direita do vértice; é negativo se o centro está à esquerda.
  • Interpretação física do enunciado: a superfície é dita “convexa” e separa dois meios, com o objeto no primeiro meio à distância 1{,}0\\ \mathrm{m}. Se a superfície é convexa voltada para o objeto, o centro de curvatura fica no mesmo lado do objeto (isto é, à esquerda do vértice). Assim adotamos R = -0{,}6\\ \mathrm{m}.(Explicação curta: “convexa” para o lado do objeto significa que a curvatura ‘olha’ para o objeto e o centro está desse lado; com a convenção adotada isso torna R negativo.)

Passo 3

Apresentar a fórmula fundamental para refração em superfície esférica e explicar o que cada termo significa.
  • Fórmula para refração na aproximação parajática numa superfície esférica: \frac{n_1}{s} + \frac{n_2}{s'} = \frac{n_2 - n_1}{R}.Onde:
    • n_1 é o índice do meio onde está o objeto (entrante),
    • n_2 é o índice do meio para onde a luz vai (saínte),
    • s é a distância do objeto ao vértice (positiva se o objeto está à esquerda do vértice, como adotamos),
    • s' é a distância da imagem ao vértice (com sinal; se s'>0 a imagem está à direita do vértice, se s'<0 está à esquerda),
    • R é o raio de curvatura (com sinal conforme explicado).
  • Intuição rápida: essa equação é análoga à equação dos sistemas ópticos para superfícies esféricas. Ela relaciona as posições do objeto e da imagem levando em conta a mudança de índice e a curvatura.

Passo 4

Calcular a posição da imagem s' aplicando a fórmula e mostrando as contas passo a passo.
  • Começo substituindo os valores conhecidos na equação: \frac{1{,}5}{1{,}0} + \frac{2{,}0}{s'} = \frac{2{,}0-1{,}5}{-0{,}6}.
  • Calcular os termos numéricos: \frac{1{,}5}{1{,}0} = 1{,}5, \qquad \frac{2{,}0-1{,}5}{-0{,}6} = \frac{0{,}5}{-0{,}6} = -\frac{5}{6} = -0{,}833333\ldots
  • A equação fica 1{,}5 + \frac{2{,}0}{s'} = -\frac{5}{6}.
  • Isolando \dfrac{2{,}0}{s'}: \frac{2{,}0}{s'} = -\frac{5}{6} - 1{,}5 = -\frac{5}{6} - \frac{3}{2}.Colocando em denominador comum 6: -\frac{5}{6} - \frac{9}{6} = -\frac{14}{6} = -\frac{7}{3}.
  • Logo \frac{2{,}0}{s'} = -\frac{7}{3}.Invertendo para achar s': s' = \frac{2{,}0}{-\tfrac{7}{3}} = 2{,}0 \cdot \left(-\frac{3}{7}\right) = -\frac{6}{7}\\ \mathrm{m}.
  • Em decimal isso é s' = -0{,}857142\ldots\\ \mathrm{m} \approx -0{,}857\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Interpretação física da posição da imagem.
  • O sinal negativo de s' ( s' = -\tfrac{6}{7}\\ \mathrm{m}) indica que a imagem está localizada do mesmo lado do vértice que o objeto (ou seja, à esquerda do vértice), portanto trata-se de uma imagem virtual.
  • A distância geométrica entre o vértice e a imagem é \tfrac{6}{7}\\ \mathrm{m} (aproximadamente 0{,}857\\ \mathrm{m}) medida para a esquerda do vértice.

Passo 6

Calcular as distâncias focais do objeto e da imagem (explicar como definimos esses focais para uma superfície refratora).
  • Definição prática (para superfícies esféricas):
    • A distância focal do lado da imagem (foco imagem) f_i é a posição da imagem produzida quando o objeto está no infinito em n_1. Tomando s\to\infty na equação básica, obtemos \frac{n_2}{f_i} = \frac{n_2 - n_1}{R} \quad\Rightarrow\quad f_i = \frac{n_2\,R}{n_2 - n_1}.
    • A distância focal do lado do objeto (foco objeto) f_o é a posição do objeto (medida a partir do vértice) que produz uma imagem no infinito em n_2. Tomando s'\to\infty, obtemos \frac{n_1}{f_o} = \frac{n_2 - n_1}{R} \quad\Rightarrow\quad f_o = \frac{n_1\,R}{n_2 - n_1}.
    • Observação: os sinais de f_i e f_o seguem a mesma convenção de sinais (se der negativo, o foco está à esquerda do vértice).
  • Agora substituo os valores ( R=-0{,}6\\ \mathrm{m}, n_1=1{,}5, n_2=2{,}0, n_2-n_1=0{,}5): f_o = \frac{1{,}5\cdot(-0{,}6)}{0{,}5} = \frac{-0{,}9}{0{,}5} = -1{,}8\\ \mathrm{m} = -\frac{9}{5}\\ \mathrm{m}.
f_i = \frac{2{,}0\cdot(-0{,}6)}{0{,}5} = \frac{-1{,}2}{0{,}5} = -2{,}4\\ \mathrm{m} = -\frac{12}{5}\\ \mathrm{m}.
  • Interpretação: ambos os focos (objeto e imagem) são negativos, isto é, estão localizados à esquerda do vértice (no mesmo lado do objeto). O fato de serem negativos decorre da geometria e dos índices envolvidos.

Passo 7

Calcular o aumento (ampliação) lateral da imagem e interpretar o resultado.
  • Fórmula para o aumento lateral na refração por uma superfície esférica (paraxial): m \equiv \frac{y'}{y} = \frac{n_1\,s'}{n_2\,s},onde y é a altura do objeto e y' a altura da imagem. Essa expressão aparece ao combinar semelhança de triângulos e a relação de ângulos de refração na aproximação parajática.
  • Substituindo os valores ( n_1=1{,}5, s'=-\tfrac{6}{7}\\ \mathrm{m}, n_2=2{,}0, s=1{,}0\\ \mathrm{m}): m = \frac{1{,}5 \cdot \left(-\dfrac{6}{7}\right)}{2{,}0 \cdot 1{,}0} = -\frac{9}{14} \approx -0{,}642857\ldots \approx -0{,}643.
  • Interpretação do sinal e do módulo:
    • O sinal negativo indica que a imagem está invertida em relação ao objeto (no sentido de orientação vertical).
    • O módulo |m| \approx 0{,}643 < 1 indica que a imagem é menor que o objeto (reduzida).

Passo 8

Resumo das respostas numéricas com interpretação curta (já calculadas nos passos anteriores).
  • Posição da imagem: s' = -\tfrac{6}{7}\\ \mathrm{m} \approx -0{,}857\\ \mathrm{m} (imagem virtual, à esquerda do vértice).
  • Distância focal do lado do objeto: f_o = -\tfrac{9}{5}\\ \mathrm{m} = -1{,}8\\ \mathrm{m}.
  • Distância focal do lado da imagem: f_i = -\tfrac{12}{5}\\ \mathrm{m} = -2{,}4\\ \mathrm{m}.
  • Aumento lateral: m = -\tfrac{9}{14} \approx -0{,}643 (imagem invertida e reduzida).

Resposta

f_o = -\dfrac{9}{5}\\ \mathrm{m} = -1{,}8\\ \mathrm{m}
f_i = -\dfrac{12}{5}\\ \mathrm{m} = -2{,}4\\ \mathrm{m}
s' = -\dfrac{6}{7}\\ \mathrm{m} \approx -0{,}857\\ \mathrm{m}
m = -\dfrac{9}{14} \approx -0{,}643

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