Questão 1: (2.5) Use coordenadas esféricas para encontrar o volume do sólido.
V=integral0^2 pi integral0^pi / 4 integral1^2 rho^2 sen phi d rho d phi d theta

Passo 1

Estamos calculando o volume de um sólido em coordenadas esféricas dado por V=integral0^2piintegral0^pi/4integral1^2rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta. O conteúdo é volume em esféricas e vamos usar o elemento de volume dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta.

Passo 2

Primeiro, integramos em rho, mantendo phi e theta fixos:
integral1^2rho^2,drho=rho^33|1^2=8-13=73

Passo 3

Substituindo esse resultado, o volume vira
V=73integral0^2piintegral0^pi/4sinphi,dphi,dtheta

Passo 4

Agora, integramos em phi:
integral0^pi/4sinphi,dphi=-cosphi|0^pi/4=1-costfracpi4=1-raiz22

Passo 5

Por fim, integramos em theta de 0 a 2pi e multiplicamos os fatores:
V=73cdotl(1-tfracraiz22r)cdotintegral0^2pidtheta=73l(1-tfracraiz22r)cdot2pi

Passo 6

Simplificando a expressão final, obtemos
V=7pi3,(2-raiz2)

Resposta

V=\frac{7\pi}{3}(2-\sqrt{2})

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