Questão 2. (Faap - Sp)
Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25000 .
b) 120 .
c) 120000 .
d) 18000 .
е) 32000 .
Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25000 .
b) 120 .
c) 120000 .
d) 18000 .
е) 32000 .
Passo 1
O enunciado pergunta quantas placas diferentes são possíveis se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos. Informações relevantes extraídas do enunciado e convenções usuais:
- As vogais do alfabeto são
, ou seja, há vogais possíveis para cada posição de letra. - Os algarismos são os dígitos
, ou seja, há dígitos possíveis. - Há exatamente
posições para vogais e posições para algarismos na placa (cada posição é distinta: primeira vogal, segunda vogal, primeiro dígito, etc.). - Condição sobre vogais: podem ocorrer repetições entre as
posições. - Condição sobre algarismos: os
algarismos devem ser distintos (sem repetição entre as três posições).
A pergunta a responder é: quantas placas diferentes podem ser formadas sob essas regras?
Passo 2
Princípio multiplicativo básico (regra do produto). Sempre que uma construção é formada por etapas sucessivas independentes, o número total de resultados é o produto do número de opções em cada etapa. Exemplo simples: se para fazer um lanche escolho 2 tipos de pão e 3 tipos de recheio, o total de lanches possíveis é
. Aqui aplicaremos a regra multiplicativa: número de escolhas para as vogais vezes número de escolhas para os algarismos.
Passo 3
Contagem das vogais (repetição permitida). Cada uma das
posições de vogal pode ser preenchida por qualquer uma das
vogais, independentemente da outra posição. Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de escolher as vogais é
Explicação curta: como a repetição é permitida e a ordem importa (primeira vogal diferente da segunda conta como combinação distinta), são
opções para a primeira posição e
para a segunda.
Passo 4
Contagem dos algarismos (sem repetição). Temos
dígitos possíveis e precisamos preencher
posições com dígitos distintos. Aqui a ordem importa (por exemplo, a sequência
é diferente de
), então usamos permutações sem repetição. O número de permutações de
elementos tomados
a
é
Calculemos:
Breve comentário sobre
: significa
, e ao dividir por
ficam apenas os três primeiros fatores
, que é exatamente o que queremos.
Passo 5
Combinar vogais e algarismos. Aplicando a regra do produto entre as escolhas das vogais e dos algarismos, o número total de placas possíveis é
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
somando,
Portanto existem
placas possíveis seguindo as regras dadas.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a é a letra d).
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a
Resposta
d)