Questão 2. (Faap - Sp)
Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos?
a) 25000 .
b) 120 .
c) 120000 .
d) 18000 .
е) 32000 .

Passo 1

O enunciado pergunta quantas placas diferentes são possíveis se cada placa tiver 2 vogais (podendo haver vogais repetidas) e 3 algarismos distintos. Informações relevantes extraídas do enunciado e convenções usuais:
  • As vogais do alfabeto são a,e,i,o,u, ou seja, há 5 vogais possíveis para cada posição de letra.
  • Os algarismos são os dígitos 0,1,\dots,9, ou seja, há 10 dígitos possíveis.
  • Há exatamente 2 posições para vogais e 3 posições para algarismos na placa (cada posição é distinta: primeira vogal, segunda vogal, primeiro dígito, etc.).
  • Condição sobre vogais: podem ocorrer repetições entre as 2 posições.
  • Condição sobre algarismos: os 3 algarismos devem ser distintos (sem repetição entre as três posições).
    A pergunta a responder é: quantas placas diferentes podem ser formadas sob essas regras?

Passo 2

Princípio multiplicativo básico (regra do produto). Sempre que uma construção é formada por etapas sucessivas independentes, o número total de resultados é o produto do número de opções em cada etapa. Exemplo simples: se para fazer um lanche escolho 2 tipos de pão e 3 tipos de recheio, o total de lanches possíveis é 2\cdot3=6. Aqui aplicaremos a regra multiplicativa: número de escolhas para as vogais vezes número de escolhas para os algarismos.

Passo 3

Contagem das vogais (repetição permitida). Cada uma das 2 posições de vogal pode ser preenchida por qualquer uma das 5 vogais, independentemente da outra posição. Pelo princípio multiplicativo, o número de maneiras de escolher as vogais é
5\cdot5=5^2=25.
Explicação curta: como a repetição é permitida e a ordem importa (primeira vogal diferente da segunda conta como combinação distinta), são 5 opções para a primeira posição e 5 para a segunda.

Passo 4

Contagem dos algarismos (sem repetição). Temos 10 dígitos possíveis e precisamos preencher 3 posições com dígitos distintos. Aqui a ordem importa (por exemplo, a sequência 1,2,3 é diferente de 3,2,1), então usamos permutações sem repetição. O número de permutações de 10 elementos tomados 3 a 3 é
P(10,3)=\frac{10!}{(10-3)!}=10\cdot9\cdot8.
Calculemos:
10\cdot9\cdot8=90\cdot8=720.
Breve comentário sobre 10!: significa 10\cdot9\cdot8\cdot\ldots\cdot1, e ao dividir por (10-3)!=7! ficam apenas os três primeiros fatores 10\cdot9\cdot8, que é exatamente o que queremos.

Passo 5

Combinar vogais e algarismos. Aplicando a regra do produto entre as escolhas das vogais e dos algarismos, o número total de placas possíveis é
25\cdot720.
Vamos fazer a multiplicação passo a passo:
25\cdot700=17\,500,
25\cdot20=500,
somando,
17\,500+500=18\,000.
Portanto existem 18\,000 placas possíveis seguindo as regras dadas.
Comparando com as alternativas fornecidas, a opção que corresponde a 18\,000 é a letra d).

Resposta

d) 18\,000

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