Questão 3 - (Enem)

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez, um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.
Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
  • a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  • b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  • c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  • d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
  • e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos diz e o que ele pede.
  • Dados do enunciado:
    • Número de objetos: 5.
    • Número de personagens: 6.
    • Número de cômodos: 9.
    • Número de alunos que participaram: 280.
    • Regra das respostas: cada aluno sorteado dá uma resposta que deve ser distinta das anteriores; um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.
    • A brincadeira termina quando um aluno acertar o triplo (qual objeto, qual personagem, qual cômodo).
  • O enunciado pede que o diretor saiba que algum aluno acertará a resposta porque há quantos alunos a mais do que possíveis respostas distintas? (Escolher a alternativa correta entre a)–e).
    Portanto precisamos calcular quantas respostas distintas são possíveis e comparar com 280.

Passo 2

Explicação didática do princípio de contagem que vamos usar (a regra do produto).
Quando uma resposta consiste em escolher, em ordem, um objeto, um personagem e um cômodo, e as escolhas são independentes (escolher o objeto não altera as opções de personagem ou cômodo), o número total de respostas possíveis é o produto do número de opções de cada etapa.
Sejam
  • m o número de objetos,
  • n o número de personagens,
  • r o número de cômodos.
Então, pelo princípio fundamental da contagem (regra do produto),
\text{nº de respostas possíveis} = m \cdot n \cdot r.ºí
Aqui m=5, n=6, r=9. Cada variável representa exatamente o número de escolhas disponíveis naquela categoria.

Passo 3

Calcular explicitamente o número de respostas possíveis, passo a passo (sem pular conta).
Primeiro multiplica-se 5 por 6:
5\cdot6=30.
Depois multiplica-se o resultado por 9:
30\cdot9=270.
Portanto o número total de respostas distintas possíveis é
5\cdot6\cdot9=270.

Passo 4

Comparar o número de alunos com o número de respostas possíveis e interpretar (princípio das gavetas / ideia lógica).
  • 280 alunos e apenas 270 respostas distintas possíveis.
  • Se os alunos derem respostas todas distintas, em no máximo 270 sorteios serão esgotadas todas as respostas possíveis. Entre essas 270 respostas está, necessariamente, a resposta correta (porque a resposta correta é exatamente uma das 270 combinações).
  • Como há 280 alunos, mesmo que se sortejem muitos alunos, quando se atingirem os 270 primeiros sorteios todas as combinações possíveis já terão sido dadas por alguém; portanto alguma dessas respostas deve ser a correta.
  • Em termos simples: há mais alunos do que respostas possíveis, então é certo que algum aluno dará a combinação correta durante o processo.

Passo 5

Calcular a diferença pedida (quantos alunos a mais do que possíveis respostas distintas).
280-270=10.
Logo há 10 alunos a mais do que as possíveis respostas distintas.

Passo 6

Concluir qual alternativa corresponde ao resultado encontrado.
A alternativa que diz “ 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas” é a alternativa (a).

Resposta

a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.

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