Questão 3 - (Enem)
O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez, um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.
Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
- a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
- e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos diz e o que ele pede.
-
Dados do enunciado:
- Número de objetos:
. - Número de personagens:
. - Número de cômodos:
. - Número de alunos que participaram:
. - Regra das respostas: cada aluno sorteado dá uma resposta que deve ser distinta das anteriores; um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez.
- A brincadeira termina quando um aluno acertar o triplo (qual objeto, qual personagem, qual cômodo).
- Número de objetos:
-
O enunciado pede que o diretor saiba que algum aluno acertará a resposta porque há quantos alunos a mais do que possíveis respostas distintas? (Escolher a alternativa correta entre a)–e).
Portanto precisamos calcular quantas respostas distintas são possíveis e comparar com.
Passo 2
Explicação didática do princípio de contagem que vamos usar (a regra do produto).
Quando uma resposta consiste em escolher, em ordem, um objeto, um personagem e um cômodo, e as escolhas são independentes (escolher o objeto não altera as opções de personagem ou cômodo), o número total de respostas possíveis é o produto do número de opções de cada etapa.
Sejam
-
o número de objetos, -
o número de personagens, -
o número de cômodos.
Então, pelo princípio fundamental da contagem (regra do produto),
Aqui
,
,
. Cada variável representa exatamente o número de escolhas disponíveis naquela categoria.
Passo 3
Calcular explicitamente o número de respostas possíveis, passo a passo (sem pular conta).
Primeiro multiplica-se
por
:
Depois multiplica-se o resultado por
:
Portanto o número total de respostas distintas possíveis é
Passo 4
Comparar o número de alunos com o número de respostas possíveis e interpretar (princípio das gavetas / ideia lógica).
- Há
alunos e apenas respostas distintas possíveis. - Se os alunos derem respostas todas distintas, em no máximo
sorteios serão esgotadas todas as respostas possíveis. Entre essas respostas está, necessariamente, a resposta correta (porque a resposta correta é exatamente uma das combinações). - Como há
alunos, mesmo que se sortejem muitos alunos, quando se atingirem os primeiros sorteios todas as combinações possíveis já terão sido dadas por alguém; portanto alguma dessas respostas deve ser a correta. - Em termos simples: há mais alunos do que respostas possíveis, então é certo que algum aluno dará a combinação correta durante o processo.
Passo 5
Calcular a diferença pedida (quantos alunos a mais do que possíveis respostas distintas).
Logo há
alunos a mais do que as possíveis respostas distintas.
Passo 6
Concluir qual alternativa corresponde ao resultado encontrado.
A alternativa que diz “
alunos a mais do que possíveis respostas distintas” é a alternativa (a).
Resposta
a)
alunos a mais do que possíveis respostas distintas.