Questão 4. (2,5) Um fabricante de componentes eletrônicos deseja avaliar a resistência ôhmica média \mu de um lote de resistores. Para isso, uma amostra aleatória de n=16 resistores foi testada, para a qual obteve-se média amostral \bar{x}=10,25 \Omega e variância amostral igual a s^{2}=0,0016 \Omega^{2}. Suponha que a resistência dos resistores tenha distribuição Normal. Construa um intervalo de 95 \% de confiança para a média populacional \mu. Justifique todas as passagens!

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra de tamanho n=16 de resistores com média amostral \bar{x}=10,25\\ \Omega e variância amostral s^{2}=0,0016\\ \Omega^{2}. Como a população é Normal e o desvio-padrão verdadeiro é desconhecido, para construir um intervalo de confiança de 95\% para a média \mu usamos a distribuição de Student- t com n-1=15 graus de liberdade.

Passo 2

Calculamos o desvio-padrão amostral s e o erro-padrão da média:
s = \sqrt{0,0016} = 0,04\\ \Omega
\mathrm{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0,04}{\sqrt{16}} = 0,01\\ \Omega

Passo 3

Determinar o quantil crítico de Student para nível 95\%. Seja \alpha=0,05, então precisamos de t_{1-\alpha/2,\,15}=t_{0,975,15}. Pelas tabelas,
t_{0,975,15}\approx 2,131.
O erro máximo (meia-amplitude) do intervalo é
E = t_{0,975,15}\,\mathrm{SE} = 2,131 \times 0,01 = 0,02131\\ \Omega.

Passo 4

O intervalo de confiança de 95\% para \mu é dado por
\bar{x} \pm E
ou seja
10,25 \pm 0,02131
que resulta em
(10,2287,\;10,2713)\\ \Omega.

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para \mu é
(10,2287\\ \Omega,\;10,2713\\ \Omega).

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