Questão 2. (2,5) Suponha que o tempo T até a queima de um componente eletrônico (como um resistor de potência) submetido a uma corrente contínua acima de sua especificação nominal seja uma variável aleatória com distribuição Normal com média de 120 minutos e desvio-padrão de 15 minutos.
(a) (1,0) Qual a probabilidade de que o componente queime em menos de 105 minutos?
(b) (1,5) Um fabricante deseja especificar um tempo mínimo t tal que, com probabilidade de 95 \%, o componente nào queimará antes de t minutos, isto é, P(T \geq t)=0,95. Determine o valor de t.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo até a queima T é distribuído como Normal com média \mu=120 minutos e desvio-padrão \sigma=15 minutos. Precisamos de duas coisas:
1. Calcular P(T<105).
2. Achar t tal que P(T\ge t)=0,95.
Para isso, vamos usar a padronização em termos de uma Normal padrão Z\sim N(0,1).

Passo 2

(a) Queremos
P(T<105).
Padronizando, definimos
Z = \frac{T-\mu}{\sigma} = \frac{T-120}{15}.
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P(T<105) = P\!\Bigl(Z<\frac{105-120}{15}\Bigr) = P\!\bigl(Z<-1\bigr).
Pela tabela da Normal padrão,
P(Z<-1)=\Phi(-1)\approx 0,1587.

Passo 3

(b) Desejamos t tal que
P(T\ge t)=0,95.
Isto é equivalente a
P(T<t)=0,05.
Novamente padronizando, temos
P\!\Bigl(Z<\frac{t-120}{15}\Bigr)=0,05.
Chamando z_{0,05}=\Phi^{-1}(0,05)\approx -1,645, obtemos
\frac{t-120}{15}=z_{0,05}=-1,645 \quad\Longrightarrow\quad t = 120 + 15\cdot(-1,645)\approx 95,3.

Resposta

(a) 0,1587
(b) 95{,}3 minutos.

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