Questão 3. (2,5) Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
k
-1
0
1
P(X=k)
0,2
0,5
0,3
(a) (1,0) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X];
(b) (1,5) Seja \bar{X}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right) / n a média amostral das n observações X_{1}, \ldots, X_{n}. Use o Teorema Central do Limite (TCL) para determinar o menor valor de n para o qual
P(|\bar{X}-\mu|<0,1) \geq 0,95 .
Passo 1
O enunciado diz que X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são i.i.d. com a mesma distribuição discreta de X, cujas probabilidades são
P(X=-1)=0,2,\quad P(X=0)=0,5,\quad P(X=1)=0,3.
Precisamos calcular em (a) a média \mu=E[X] e a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X] e em (b) usar o Teorema Central do Limite para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar X-\mu|<0,1\bigr)\ge0,95,
onde \bar X=(1/n)\sum_{i=1}^{n}X_i.
Passo 2
Para achar \mu=E[X] usamos definição de esperança discreta: