Questão 3. (2,5) Suponha que X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{n} sejam variáveis aleatórias i.i.d (independentes e identicamente distribuídas) com mesma distribuição de uma variável discreta X com probabilidades dadas pela tabela abaixo
k -1 0 1
P(X=k) 0,2 0,5 0,3
(a) (1,0) Determine \mu=E[X] e \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X];
(b) (1,5) Seja \bar{X}=\left(\sum_{i=1}^{n} X_{i}\right) / n a média amostral das n observações X_{1}, \ldots, X_{n}. Use o Teorema Central do Limite (TCL) para determinar o menor valor de n para o qual
P(|\bar{X}-\mu|<0,1) \geq 0,95 .

Passo 1

O enunciado diz que X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são i.i.d. com a mesma distribuição discreta de X, cujas probabilidades são
P(X=-1)=0,2,\quad P(X=0)=0,5,\quad P(X=1)=0,3.
Precisamos calcular em (a) a média \mu=E[X] e a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X] e em (b) usar o Teorema Central do Limite para achar o menor n tal que
P\bigl(|\bar X-\mu|<0,1\bigr)\ge0,95,
onde \bar X=(1/n)\sum_{i=1}^{n}X_i.

Passo 2

Para achar \mu=E[X] usamos definição de esperança discreta:
\mu = E[X] = (-1)\cdot0,2 + 0\cdot0,5 + 1\cdot0,3 = -0,2 + 0 + 0,3 = 0,1.

Passo 3

Para a variância \sigma^{2}=\operatorname{Var}[X] usamos
\sigma^{2} = E[X^{2}] - \bigl(E[X]\bigr)^{2}.
Calculemos
E[X^{2}] = (-1)^{2}\cdot0,2 + 0^{2}\cdot0,5 + 1^{2}\cdot0,3 = 0,2 + 0 + 0,3 = 0,5,
então
\sigma^{2} = 0,5 - (0,1)^{2} = 0,5 - 0,01 = 0,49.

Passo 4

Pelo Teorema Central do Limite, para n grande
\bar X\approx N\bigl(\mu,\;\sigma^{2}/n\bigr). Assim
P\bigl(|\bar X-\mu|<0,1\bigr) \approx P\Bigl(\bigl|Z\bigr| < \frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr) =2\,\Phi\!\Bigl(\frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr)-1,
onde Z\sim N(0,1) e \Phi é sua função de distribuição. Queremos isso \ge0,95, isto é
\Phi\!\Bigl(\frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}}\Bigr)\ge0,975.
Chamando z_{0,975}=\Phi^{-1}(0,975)\approx1,96, impomos
\frac{0,1}{\sigma/\sqrt{n}}\ge1,96.

Passo 5

Substituindo \sigma=\sqrt{0,49}=0,7 e resolvendo para n:
\frac{0,1}{0,7/\sqrt{n}}\ge1,96 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{n}\ge\frac{1,96\cdot0,7}{0,1} =\frac{1,372}{0,1}=13,72 \quad\Longrightarrow\quad n\ge(13,72)^{2}\approx188,37.
Como n deve ser inteiro, o menor valor que satisfaz é n=189.

Resposta

(a) \mu=0,1 e \sigma^{2}=0,49.
(b) O menor n é 189.

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