Questão 3. Um fabricante estima que a receita marginal é R^prime(q)=100 q^-1 / 2 reais quando o nível de produção é q unidades. O custo marginal correspondente é 0,4 q reais por unidade. O lucro do fabricante é R , 00 quando o nível de produção é 16 unidades. Qual é o lucro do fabricante quando o nível de produção é 25 unidades?

Passo 1

O enunciado diz que a receita marginal é R'(q)=100q^-1/2 e o custo marginal é C'(q)=0.4q. Sabendo que o lucro é pi(q)=R(q)-C(q) e que pi(16)=520, nosso objetivo é achar pi(25) usando integração.

Passo 2

Como pi(q)=R(q)-C(q), temos pi'(q)=R'(q)-C'(q). Logo,
pi'(q)=100q^-1/2-0.4q

Passo 3

Vamos integrar pi'(q) para obter pi(q):
integral100q^-1/2,dq=100cdot2q^1/2=200q^1/2,
integral0.4q,dq=0.4cdotq^22=0.2q^2

Passo 4

Portanto, a antiderivada geral é
pi(q)=200q^1/2-0.2q^2+C

Passo 5

Usamos pi(16)=520 para determinar C. Como 16^1/2=4:
pi(16)=200cdot4-0.2cdot16^2+C=800-0.2cdot256+C=800-51.2+C=748.8+C

Passo 6

Igualando a 520, achamos
C=520-748.8=-228.8

Passo 7

Por fim, calculamos pi(25) usando 25^1/2=5:
pi(25)=200cdot5-0.2cdot25^2-228.8=1000-125-228.8=646.2

Resposta

R$\ 646,20

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