Questão 4. O movimento mensal de vendas de uma importadora é, atualmente, R , mas deverá estar diminuindo a uma taxa de:
, mas deverá estar diminuindo a uma taxa de: [ S^prime(t)=-10 t^2 / 5 reais por mês ] daqui a ê
daqui a meses O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de meses. O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de 8.000,00.
a) Escreva uma expressão para o movimento de vendas esperado para daqui a t meses.
b) Qual deverá ser o movimento de vendas daqui a dois anos?
c) Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?

Passo 1

O enunciado diz que o movimento de vendas mensal é dado por uma função S(t), em reais, cujo valor atual é S(0)=10000 e cuja taxa de variação é S′(t)=−10 t^{2/5}. Queremos (a) encontrar S(t) integrando essa derivada, (b) avaliar S(24) e © descobrir até que tempo S(t) permanece ≥8000.

Passo 2

Para achar S(t) integramos S′(t) usando a regra de potência e aplicamos a condição inicial:
integral -10,t^2/5,dt = -10 cdot t^7/57/5 = -507t^7/5
Logo,
S(t)=C - 507t^7/5
Como S(0)=10000, temos C=10000 e finalmente
S(t)=10000 - 507t^7/5

Passo 3

Para (b), basta substituir t=24 em S(t):
S(24)=10000 - 507,24^7/5
Calculando 24^{7/5}≈85.5, obtemos
S(24)≈10000 - 507·85.5≈9389
Ou seja, cerca de R$ 9.389,00.

Passo 4

Para ©, resolvemos S(t)=8000:
10000 - 507t^7/5=8000
507t^7/5=2000
t^7/5=280
t=280^5/7≈56
Portanto o negócio fica lucrativo enquanto t≲56 meses.

Resposta

a) S(t)=10000 - 507t^7/5 b) S(24)≈9389 reais c) aproximadamente 56 meses

Exercícios relacionados