Questão 4. O movimento mensal de vendas de uma importadora é, atualmente,
, mas deverá estar diminuindo a uma taxa de:
daqui a
meses. O negócio deixará de ser lucrativo se o movimento mensal cair abaixo de
.
a) Escreva uma expressão para o movimento de vendas esperado para daqui a
meses.
b) Qual deverá ser o movimento de vendas daqui a dois anos?
c) Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?
a) Escreva uma expressão para o movimento de vendas esperado para daqui a
b) Qual deverá ser o movimento de vendas daqui a dois anos?
c) Durante quantos meses o negócio continuará a ser lucrativo?
Passo 1
O enunciado diz que o movimento de vendas mensal é dado por uma função S(t), em reais, cujo valor atual é S(0)=10000 e cuja taxa de variação é S′(t)=−10 t^{2/5}. Queremos (a) encontrar S(t) integrando essa derivada, (b) avaliar S(24) e © descobrir até que tempo S(t) permanece ≥8000.
Passo 2
Para achar S(t) integramos S′(t) usando a regra de potência e aplicamos a condição inicial:
Logo,
Como S(0)=10000, temos C=10000 e finalmente
Passo 3
Para (b), basta substituir t=24 em S(t):
Calculando 24^{7/5}≈85.5, obtemos
Ou seja, cerca de R$ 9.389,00.
Passo 4
Para ©, resolvemos S(t)=8000:
Portanto o negócio fica lucrativo enquanto t≲56 meses.
Resposta
a)
b)
reais c) aproximadamente 56 meses