Calcule a integral dada e verifique se o cálculo está correto derivando o resultado.

Passo 1

A integral dada é integral 1xln x,dx. Estamos lidando com integração por substituição envolvendo função logarítmica, e depois vamos conferir o resultado derivando.

Passo 2

Escolhemos a substituição u = ln x. Então du = 1x,dx, o que permite reescrever dx/x como du. A integral se transforma em
integral 1xln x,dx = integral 1u,du

Passo 3

A integral de 1/u é ln|u| + C. Substituindo de volta u = ln x, obtemos
ln|ln x| + C

Passo 4

Para verificar, derivamos ln|ln x| + C: usando a regra da cadeia,
ddxl(ln|ln x|r) = 1ln x cdot 1x = 1xln x,
que coincide com o integrando original.

Resposta

ln|ln x| + C

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