Questão 5. Faça um esboço das curvas abaixo e determine as equações paramétricas de suas retas tangentes no ponto P=\gamma\left(t_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} dado.
\gamma(t)=\left(2 t, t^{2}\right), t \in \mathbb{R}, P_{0}=(2,1) e t_{0}=1.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\gamma(t)=\bigl(2t,\;t^{2}\bigr),\qquad t\in\mathbb{R},
e informa o ponto P_{0}=(2,1) que corresponde ao parâmetro t_{0}=1. O que é pedido:
  • Fazer um esboço da curva \gamma(t).
  • Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva em P_{0}=\gamma(t_{0}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A coordenada x é 2t e a coordenada y é t^{2}.
  • O parâmetro correspondente ao ponto pedido é t_{0}=1.
  • O ponto em coordenadas cartesianas é P_{0}=(2,1).

Passo 2

Entender a forma da curva (esboço): eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana. A partir de \gamma(t) tem-se x=2t, então
t=\frac{x}{2}.
Substituindo em y=t^{2} obtém-se
y=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{4}.
Portanto a curva é a parábola de equação cartesiana \;y=\dfrac{x^{2}}{4}\;, que abre para cima e tem vértice em (0,0).
Descrição do esboço (como desenhar rápido na prova):
  • Marcar o vértice em (0,0).
  • É menos “aberta” que y=x^{2} porque há o fator 1/4; para x=2 tem y=1 (isso confirma o ponto P_{0}).
  • Orientação (sentido do parâmetro t): para t crescendo, x=2t cresce linearmente, e y=t^{2} aumenta para valores grandes; assim as setas da parábola seguem no sentido de x aumentando (da esquerda pra direita quando t aumenta).

Passo 3

Conceito de reta tangente a uma curva paramétrica e fórmula prática:
  • Para uma curva \gamma(t)=\bigl(x(t),y(t)\bigr), o vetor velocidade (derivada) é
\gamma'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr).
  • No ponto t_{0} a direção da reta tangente é dada por \gamma'(t_{0}).
  • Uma equação paramétrica conveniente da reta tangente é, usando um parâmetro novo s,
L(s)=\gamma(t_{0})+s\,\gamma'(t_{0}),
ou seja, em coordenadas
x(s)=x(t_{0})+s\,x'(t_{0}),\qquad y(s)=y(t_{0})+s\,y'(t_{0}).
  • Alternativamente, a forma cartesiana da reta pode ser obtida por eliminação de s (se x'(t_{0})\neq0, o coeficiente angular é m=\dfrac{y'(t_{0})}{x'(t_{0})}).

Passo 4

Calcular a derivada da curva componente a componente. Para \gamma(t)=\bigl(2t,\;t^{2}\bigr):
x(t)=2t\quad\Rightarrow\quad x'(t)=2,
y(t)=t^{2}\quad\Rightarrow\quad y'(t)=2t.
Logo o vetor velocidade é
\gamma'(t)=\bigl(2,\;2t\bigr).

Passo 5

Avaliar a derivada no parâmetro t_{0}=1. Substituindo t=1 em \gamma'(t):
\gamma'(1)=\bigl(2,\;2\cdot 1\bigr)=\bigl(2,\;2\bigr).
Esse vetor (2,2) dá a direção da reta tangente em P_{0}=\gamma(1)=(2,1).

Passo 6

Escrever a equação paramétrica da reta tangente usando s como parâmetro:
L(s)=\gamma(1)+s\,\gamma'(1)=\bigl(2,1\bigr)+s\bigl(2,2\bigr).
Separando em componentes:
x(s)=2+2s,\qquad y(s)=1+2s,\qquad s\in\mathbb{R}.
Também pode-se dar a forma cartesiana (coeficiente angular): como x'(1)=2\neq0, o coeficiente angular é
m=\frac{y'(1)}{x'(1)}=\frac{2}{2}=1.
A equação em forma reduzida é
y-1=1\,(x-2)\quad\Longrightarrow\quad y=x-1.

Passo 7

Checagem rápida (verificação): ao eliminar s das paramétricas, de x=2+2s obtém-se s=\dfrac{x-2}{2}. Substituindo em y=1+2s
y=1+2\cdot\frac{x-2}{2}=1+(x-2)=x-1,
confirmando que a forma cartesiana está consistente com a forma paramétrica.

Resposta

x(s)=2+2s,\quad y(s)=1+2s,\\ s\in\mathbb{R}
y=x-1

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