Questão 5. Faça um esboço das curvas abaixo e determine as equações paramétricas de suas retas tangentes no ponto
dado.
e
.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e informa o ponto
que corresponde ao parâmetro
. O que é pedido:
- Fazer um esboço da curva
. - Determinar as equações paramétricas da reta tangente à curva em
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A coordenada
é e a coordenada é . - O parâmetro correspondente ao ponto pedido é
. - O ponto em coordenadas cartesianas é
.
Passo 2
Entender a forma da curva (esboço): eliminar o parâmetro para obter a equação cartesiana. A partir de
tem-se
, então
Substituindo em
obtém-se
Portanto a curva é a parábola de equação cartesiana
, que abre para cima e tem vértice em
.
Descrição do esboço (como desenhar rápido na prova):
- Marcar o vértice em
. - É menos “aberta” que
porque há o fator ; para tem (isso confirma o ponto ). - Orientação (sentido do parâmetro
): para crescendo, cresce linearmente, e aumenta para valores grandes; assim as setas da parábola seguem no sentido de aumentando (da esquerda pra direita quando aumenta).
Passo 3
Conceito de reta tangente a uma curva paramétrica e fórmula prática:
- Para uma curva
, o vetor velocidade (derivada) é
- No ponto
a direção da reta tangente é dada por . - Uma equação paramétrica conveniente da reta tangente é, usando um parâmetro novo
,
ou seja, em coordenadas
- Alternativamente, a forma cartesiana da reta pode ser obtida por eliminação de
(se , o coeficiente angular é ).
Passo 4
Calcular a derivada da curva componente a componente. Para
:
Logo o vetor velocidade é
Passo 5
Avaliar a derivada no parâmetro
. Substituindo
em
:
Esse vetor
dá a direção da reta tangente em
.
Passo 6
Escrever a equação paramétrica da reta tangente usando
como parâmetro:
Separando em componentes:
Também pode-se dar a forma cartesiana (coeficiente angular): como
, o coeficiente angular é
A equação em forma reduzida é
Passo 7
Checagem rápida (verificação): ao eliminar
das paramétricas, de
obtém-se
. Substituindo em
dá
confirmando que a forma cartesiana está consistente com a forma paramétrica.