Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre as duas curvas $ y = x^{4} - x^{2} $ e $ y = 1 - x^{2} $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente a parte de integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando $ x^{4} - x^{2} = 1 - x^{2} $. Simplificando essa equação:
Subtraindo $ -x^{2} $ de ambos os lados:
Agora, tirando a raiz quarta de ambos os lados:
Então, as curvas se cruzam em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos ver qual delas está por cima nesse intervalo, porque a área vai ser a integral da função de cima menos a função de baixo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -1 e 1, por exemplo, $ x = 0 $:
Então, $ y = 1 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{4} - x^{2} $ nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, a área $ A $ entre as curvas de $ x = -1 $ a $ x = 1 $ é dada por:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 5
Vamos calcular essa integral. A integral de $ 1 $ em relação a $ x $ é $ x $, e a integral de $ x^{4} $ é $ \frac{x^{5}}{5} $. Então:
Avaliar isso nos limites de integração:
Para $ x = 1 $:
Para $ x = -1 $:
Passo 6
Agora, subtraímos o valor em $ x = -1 $ do valor em $ x = 1 $:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas $ y = x^{4} - x^{2} $ e $ y = 1 - x^{2} $ é $ \frac{8}{5} $ unidades de área.