Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
y=x^4-x^2, y=1-x^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a área da região que fica entre as duas curvas $ y = x^{4} - x^{2} $ e $ y = 1 - x^{2} $. A matéria que vamos usar aqui é cálculo, especificamente a parte de integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos descobrir onde as curvas se cruzam e depois integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando $ x^{4} - x^{2} = 1 - x^{2} $. Simplificando essa equação:
x^4 - x^2 = 1 - x^2
Subtraindo $ -x^{2} $ de ambos os lados:
x^4 - x^2 = 1 - x^2
Agora, tirando a raiz quarta de ambos os lados:
-x^2
Então, as curvas se cruzam em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, precisamos ver qual delas está por cima nesse intervalo, porque a área vai ser a integral da função de cima menos a função de baixo. Vamos escolher um valor de $ x $ entre -1 e 1, por exemplo, $ x = 0 $:
x
x = 0
Então, $ y = 1 - x^{2} $ está acima de $ y = x^{4} - x^{2} $ nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, a área $ A $ entre as curvas de $ x = -1 $ a $ x = 1 $ é dada por:
A
Simplificando a expressão dentro da integral:
x = -1

Passo 5

Vamos calcular essa integral. A integral de $ 1 $ em relação a $ x $ é $ x $, e a integral de $ x^{4} $ é $ \frac{x^{5}}{5} $. Então:
1
Avaliar isso nos limites de integração:
Para $ x = 1 $:
x
Para $ x = -1 $:
x

Passo 6

Agora, subtraímos o valor em $ x = -1 $ do valor em $ x = 1 $:
x = -1

Resposta

A área da região limitada pelas curvas $ y = x^{4} - x^{2} $ e $ y = 1 - x^{2} $ é $ \frac{8}{5} $ unidades de área.

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