Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre mínimos quadrados e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Faça um resumo e uma descrição sobre mínimos quadrados e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente resumir e descrever o método dos mínimos quadrados, os diferentes modelos que existem para resolver esse tipo de problema, além de resolver um exemplo específico e indicar uma referência bibliográfica. Então, vamos precisar entender o que são mínimos quadrados, ver os modelos existentes e colocar em prática com um exemplo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é uma técnica estatística usada para encontrar a melhor linha ou curva que se ajusta a um conjunto de dados. Ele minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha ou curva. Basicamente, a gente tenta “encaixar” uma função matemática aos dados de forma que os erros (diferenças) sejam os menores possíveis ao quadrado.
A fórmula geral para a soma dos quadrados dos resíduos (erros) é:
Onde:
-
são os valores observados, -
são os valores previstos pela função ajustada, -
é o número de observações.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre os diferentes modelos que existem para resolver problemas de mínimos quadrados. Os principais são:
-
Mínimos Quadrados Lineares: Utilizado quando a relação entre as variáveis é linear. A função ajustada é da forma
. -
Mínimos Quadrados Não Lineares: Usado quando a relação entre as variáveis não é linear. A função pode ter várias formas, como exponencial, logarítmica, polinomial, etc.
-
Mínimos Quadrados Ponderados: Aqui, cada erro é multiplicado por um peso, que geralmente é o inverso da variância do erro. Esse método é útil quando temos diferentes níveis de variabilidade nos dados.
-
Mínimos Quadrados Generalizados: Uma extensão dos mínimos quadrados ponderados, que permite correlacionar os erros.
Cada modelo é escolhido com base na natureza dos dados e na relação entre as variáveis que estamos analisando.
Passo 4
Vamos resolver um exemplo prático usando o método dos mínimos quadrados lineares. Suponha que temos os seguintes dados experimentais:
|
|
---|---|
1 | 2 |
2 | 3 |
3 | 5 |
4 | 4 |
5 | 6 |
Queremos encontrar a reta de melhor ajuste na forma
.
Passo 4.1: Calcular as somas necess��rias
Vamos calcular as somas de
,
,
e
:
Passo 4.2: Calcular o coeficiente angular
e o coeficiente linear
As fórmulas para
e
são:
Onde
é o número de observações, que nesse caso é 5.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4.3: Escrever a equação da reta de melhor ajuste
Resposta
A reta de melhor ajuste pelos mínimos quadrados para os dados fornecidos é
.
Referência Bibliográfica
MURPHY, Kevin P. Machine Learning: A Probabilistic Perspective. MIT Press, 2012.