Questão 1
Faça um resumo e uma descrição sobre mínimos quadrados e os diferentes modelos que existem para resolver problemas deste tipo. Resolva um exemplo particular. Indique sua referência bibliográfica.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente resumir e descrever o método dos mínimos quadrados, os diferentes modelos que existem para resolver esse tipo de problema, além de resolver um exemplo específico e indicar uma referência bibliográfica. Então, vamos precisar entender o que são mínimos quadrados, ver os modelos existentes e colocar em prática com um exemplo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados. Esse método é uma técnica estatística usada para encontrar a melhor linha ou curva que se ajusta a um conjunto de dados. Ele minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela linha ou curva. Basicamente, a gente tenta “encaixar” uma função matemática aos dados de forma que os erros (diferenças) sejam os menores possíveis ao quadrado.
A fórmula geral para a soma dos quadrados dos resíduos (erros) é:
S = sumi=1^n (yi - f(xi))^2
Onde:
  • são os valores observados,
  • são os valores previstos pela função ajustada,
  • é o número de observações.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre os diferentes modelos que existem para resolver problemas de mínimos quadrados. Os principais são:
  1. Mínimos Quadrados Lineares: Utilizado quando a relação entre as variáveis é linear. A função ajustada é da forma .
  2. Mínimos Quadrados Não Lineares: Usado quando a relação entre as variáveis não é linear. A função pode ter várias formas, como exponencial, logarítmica, polinomial, etc.
  3. Mínimos Quadrados Ponderados: Aqui, cada erro é multiplicado por um peso, que geralmente é o inverso da variância do erro. Esse método é útil quando temos diferentes níveis de variabilidade nos dados.
  4. Mínimos Quadrados Generalizados: Uma extensão dos mínimos quadrados ponderados, que permite correlacionar os erros.
Cada modelo é escolhido com base na natureza dos dados e na relação entre as variáveis que estamos analisando.

Passo 4

Vamos resolver um exemplo prático usando o método dos mínimos quadrados lineares. Suponha que temos os seguintes dados experimentais:
sum x &= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 sum y &= 2 + 3 + 5 + 4 + 6 = 20 sum xy &= (1)(2) + (2)(3) + (3)(5) + (4)(4) + (5)(6) = 2 + 6 + 15 + 16 + 30 = 69 sum x^2 &= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55 b = nsum xy - (sum x)(sum y)nsum x^2 - (sum x)^2
1 2
2 3
3 5
4 4
5 6
Queremos encontrar a reta de melhor ajuste na forma a = sum y - b sum xn .
Passo 4.1: Calcular as somas necess��rias
Vamos calcular as somas de b = 5 times 69 - 15 times 205 times 55 - 15^2 = 345 - 300275 - 225 = 4550 = 0,9 , a = 20 - 0,9 times 155 = 20 - 13,55 = 6,55 = 1,3 , y = 1,3 + 0,9x e :
Passo 4.2: Calcular o coeficiente angular e o coeficiente linear
As fórmulas para e são:
Onde é o número de observações, que nesse caso é 5.
Calculando :
Calculando :
Passo 4.3: Escrever a equação da reta de melhor ajuste

Resposta

A reta de melhor ajuste pelos mínimos quadrados para os dados fornecidos é .

Referência Bibliográfica

MURPHY, Kevin P. Machine Learning: A Probabilistic Perspective. MIT Press, 2012.

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