Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
.
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas
e
. Vamos usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso. Precisaremos descobrir onde essas duas curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa igualar as duas equações:
Passo 3
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de
onde as curvas se interceptam. Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por 9:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação quadrática:
Então, as soluções são
e
. Portanto, as curvas se intersectam nos pontos
e
.
Passo 6
Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Onde
é a função de cima e
é a função de baixo no intervalo de integração de
a
.
Passo 7
Precisamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos avaliar as funções em um ponto dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 8
Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a antiderivada é:
Passo 10
Avaliaremos a antiderivada de
a
:
Calculando em
:
Calculando em
:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é
unidades quadradas.