Encontre a área da região limitada pelas curvas a seguir.
y=1+raizx, y=(3+x) / 3.

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar a área da região que está entre as curvas e . Vamos usar cálculo, especificamente a integração, para resolver isso. Precisaremos descobrir onde essas duas curvas se encontram e, em seguida, calcular a área entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa igualar as duas equações:
1 + raizx = 3 + x3

Passo 3

Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de 3(1 + raizx) = 3 + x onde as curvas se interceptam. Multiplicando ambos os lados por 3 para eliminar a fração:
3 + 3raizx = 3 + x
3raizx = x
Subtraindo 3 de ambos os lados:

Passo 4

Agora, vamos isolar 3raizx = x :
raizx = x3
x = (x3)^2
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x = x^29
9x = x^2
Multiplicando ambos os lados por 9:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação quadrática:
x^2 - 9x = 0
x(x - 9) = 0
Então, as soluções são e . Portanto, as curvas se intersectam nos pontos e .

Passo 6

Para encontrar a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral definida:
Área = integrala^b (f(x) - g(x)) , dx Á
Onde é a função de cima e é a função de baixo no intervalo de integração de a .

Passo 7

Precisamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de y = 1 + raiz4 = 1 + 2 = 3 a y = 3 + 43 = 73 approx 2,33 . Vamos avaliar as funções em um ponto dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 8

Agora, configuramos a integral para calcular a área:
Área = integral0^9 ( (1 + raizx) - (3 + x3) ) dx Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
1 + raizx - 3 + x3 = 1 + raizx - 1 - x3 = raizx - x3
Então, a integral fica:
Área = integral0^9 ( raizx - x3 ) dx Á

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
integral raizx , dx = integral x^1/2 , dx = 23 x^3/2
integral x3 , dx = 13 integral x , dx = 13 cdot x^22 = x^26
Portanto, a antiderivada é:
23 x^3/2 - x^26

Passo 10

Avaliaremos a antiderivada de [ 23 x^3/2 - x^26 ]0^9 a 23 cdot 9^3/2 - 9^26 = 23 cdot 27 - 816 = 18 - 13,5 = 4,5 :
23 cdot 0^3/2 - 0^26 = 0 - 0 = 0
Calculando em :
Calculando em :

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é unidades quadradas.

Exercícios relacionados